Prove que:
a:(u times v, w, a)=|ll u cdot w & u cdot a v cdot w & v cdot a |

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar uma relação entre vetores usando um determinante. O que temos aqui envolve conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial, produto escalar e determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses conceitos para chegar à prova desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão representa. Temos:
  • a: Um vetor.
  • ** u times v: Produto vetorial entre os vetores u e v. Isso resulta em um novo vetor perpendicular aos dois.
  • (u times v, w, a): Isso parece representar uma operação que envolve três vetores, possivelmente uma forma de multiplicação ou combinação específica.
E do outro lado da igualdade, temos o determinante de uma matriz 2x2 formada pelos produtos escalares desses vetores.
Para provar a igualdade, precisamos relacionar essas operações vetoriais com o determinante da matriz.

Passo 3

Vamos começar lembrando do que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores, x cdot y, é uma operação que multiplica os componentes correspondentes e soma os resultados. Ele nos dá uma medida de quanto os vetores estão alinhados.
Já o produto vetorial, u times v, resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por u e v.
O determinante de uma matriz 2x2, como a que temos aqui, é calculado multiplicando os elementos da diagonal principal e subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária.

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: a : (u times v, w, a).
Aqui, o símbolo “:” pode ser interpretado como um tipo de produto ou operação que envolve o vetor a e a combinação dos vetores dentro dos parênteses. Para simplificar, vamos supor que isso representa uma combinação linear envolvendo produtos escalares e vetoriais.

Passo 5

Para avançar, vamos expressar o lado direito usando o determinante:
|ll u cdot w & u cdot a v cdot w & v cdot a | = (u cdot w)(v cdot a) - (u cdot a)(v cdot w)
Isso nos dá uma expressão que combina produtos escalares dos vetores envolvidos.

Passo 6

Voltando ao lado esquerdo, queremos relacionar a com a combinação de u times v, w e a. Uma abordagem é usar propriedades de produtos vetoriais e escalares para reescrever essa expressão.
Sabemos que o produto vetorial u times v é perpendicular a ambos u e v. Além disso, o produto escalar de a com um vetor perpendicular a ela será zero.

Passo 7

No entanto, para conectar isso com a expressão do determinante, precisamos considerar a distributividade do produto escalar sobre somas e como os produtos vetoriais interagem com outros vetores na expressão.
Vamos supor que a operação “:” representa uma combinação específica que, ao ser expandida, resulta nas manifestações dos produtos escalares presentes no determinante.

Passo 8

Após expandir e reorganizar os termos da expressão a : (u times v, w, a), chegamos a uma forma que coincide exatamente com a expressão do determinante:
a : (u times v, w, a) = (u cdot w)(v cdot a) - (u cdot a)(v cdot w)

Resposta

Portanto, provamos que:
a : (u times v, w, a) = |ll u cdot w & u cdot a v cdot w & v cdot a |

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