Sejam A=(1,2,-1), B=(-1,1,-1) e C=(2,-1,1) são três pontos em base ortonormal E=(imath, jmath, k) e M, N, P são pontos médios dos lados B C, A C, A B. Usando produto escalar calcule
b: Comprimentos dos medianos A M, B N, C P

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . Queremos encontrar os comprimentos das medianas , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, especificamente vetores e produto escalar. Precisamos encontrar os pontos médios dos lados e depois calcular a distância entre os pontos dados e esses médios usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos médios M = ( -1 + 22, 1 + (-1)2, -1 + 12 ) = ( 12, 0, 0 ) , N = ( 1 + 22, 2 + (-1)2, -1 + 12 ) = ( 32, 12, 0 ) e P = ( 1 + (-1)2, 2 + 12, -1 + (-1)2 ) = ( 0, 32, -1 ) .
  • Médio de ( ):
  • Médio de ( ):
  • Médio de ( ):

Passo 3

Agora, vamos determinar os vetores correspondentes às medianas AM = M - A = ( 12 - 1, 0 - 2, 0 - (-1) ) = ( -12, -2, 1 ) , BN = N - B = ( 32 - (-1), 12 - 1, 0 - (-1) ) = ( 52, -12, 1 ) e CP = P - C = ( 0 - 2, 32 - (-1), -1 - 1 ) = ( -2, 52, -2 ) .
  • Vetor :
  • Vetor :
  • Vetor :

Passo 4

Para encontrar o comprimento de cada mediana, vamos calcular o módulo (ou magnitude) de cada vetor. O módulo de um vetor | v | = raizx^2 + y^2 + z^2 é dado por:
| AM | = raiz(-12)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz14 + 4 + 1 = raiz214 = raiz212 approx 2,291
Vamos aplicar isso a cada vetor.
  • Comprimento de | BN | = raiz(52)^2 + (-12)^2 + 1^2 = raiz254 + 14 + 1 = raiz304 = raiz302 approx 2,738 :
    | CP | = raiz(-2)^2 + (52)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 254 + 4 = raiz574 = raiz572 approx 3,770
  • Comprimento de :
  • Comprimento de :

Resposta

Os comprimentos das medianas são:
| AM | = raiz212 approx 2,291
| BN | = raiz302 approx 2,738
| CP | = raiz572 approx 3,770

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