Determinar a interseção da reta r:(x, y, z)=(0,1,0)+t(1,-2,-1), como plano pi: 2 x+y-z-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Para isso, vamos usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano para descobrir o valor de que faz a reta estar no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 0 + t cdot 1 = t :
y = 1 + t cdot (-2) = 1 - 2t
z = 0 + t cdot (-1) = -t
Esses dependem do parâmetro .

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano 2x + y - z - 4 = 0 :
2(t) + (1 - 2t) - (-t) - 4 = 0
Substituindo , e :

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
2t + 1 - 2t + t - 4 = 0
(2t - 2t + t) + (1 - 4) = 0
t - 3 = 0

Passo 5

Resolvendo para t = 3 :

Passo 6

Agora que temos x = t = 3 , vamos substituir de volta nas equações paramétricas para encontrar o ponto de interseção:
y = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5
z = -t = -3

Resposta

A interseção da reta com o plano ocorre no ponto .

Exercícios relacionados