Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos a equação geral do planopi a partir das equações paramétricas fornecidas:
l x=1+3 h+t y=-1+h+2 t z=-h+3 t
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a representação de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto no plano e dois vetores que estejam contidos nele. Depois, usaremos esses vetores para encontrar o vetor normal ao plano e, por fim, escreveremos a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto específico no plano pi. Nas equações paramétricas, os termos independentes (sem h ou t) nos dão as coordenadas desse ponto. Observando as equações:
Para h = 0 e t = 0:
x = 1 + 3(0) + 0 = 1
y = -1 + 0 + 2(0) = -1
z = -0 + 3(0) = 0
Então, temos o ponto P(1, -1, 0) que está no plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de h e t representam esses vetores. Vamos separar as equações:
Com o parâmetro h:
De
De
De
Então, o vetor diretor correspondente a h é v1 = 3 1 -1 .
Com o parâmetro t:
De
De
De
Então, o vetor diretor correspondente a t é v2 = 1 2 3 .
Passo 4
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar o vetor normal (n) ao plano. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores diretores v1 e v2. A maneira de encontrar esse vetor é calculando o produto vetorial entre v1 e v2.