Determine a equação geral do plano de equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos a equação geral do plano a partir das equações paramétricas fornecidas:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a representação de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto no plano e dois vetores que estejam contidos nele. Depois, usaremos esses vetores para encontrar o vetor normal ao plano e, por fim, escreveremos a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto específico no plano . Nas equações paramétricas, os termos independentes (sem ou ) nos dão as coordenadas desse ponto. Observando as equações:
  • Para e :
Então, temos o ponto que está no plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de e representam esses vetores. Vamos separar as equações:
  • Com o parâmetro :
    Então, o vetor diretor correspondente a é .
  • Com o parâmetro :
    Então, o vetor diretor correspondente a é .

Passo 4

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar o vetor normal ( ) ao plano. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores diretores e . A maneira de encontrar esse vetor é calculando o produto vetorial entre e .
Vamos calcular :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
    (lembre-se de mudar o sinal: )
  • Componente :
Então, o vetor normal é:
Podemos simplificar dividindo por 5:

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor normal .
Substituindo os valores:
Distribuindo:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

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pode ser descrito por

Num laboratório, foram fabricadas, para fins de pesquisa científica, três tipos de liga metálica: I, II e III. O processo de fabricação exigiu o uso de vários equipamentos, em particular, o do aparelho .
Para a produção de cada kg da liga I foram utilizados 40 g do metal A e 20 g do metal B; para cada kg de II, 100 g de metal A e 80 g de metal B e, para cada kg de de A e 80 g de B. O tempo de uso do aparelho X , em minutos, gasto na fabricação de cada kg das ligas I, II e III foi, respectivamente, de 24,12 e 24 (sendo que não houve produção simultânea de ligas distintas). Sabendo que foram utilizados um total de 460 g do metal A e 420 g do metal B , e que foram necessários 96 minutos de uso do aparelho , determine quantos kg de cada uma
das ligas I, II e III foram fabricados.