Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos a equação geral do plano a partir das equações paramétricas fornecidas:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a representação de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto no plano e dois vetores que estejam contidos nele. Depois, usaremos esses vetores para encontrar o vetor normal ao plano e, por fim, escreveremos a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto específico no plano . Nas equações paramétricas, os termos independentes (sem ou ) nos dão as coordenadas desse ponto. Observando as equações:
Para e :
Então, temos o ponto que está no plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de e representam esses vetores. Vamos separar as equações:
Com o parâmetro :
Então, o vetor diretor correspondente a é .
Com o parâmetro :
Então, o vetor diretor correspondente a é .
Passo 4
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar o vetor normal () ao plano. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores diretores e . A maneira de encontrar esse vetor é calculando o produto vetorial entre e .
Vamos calcular :
Calculando cada componente:
Componente :
Componente : (lembre-se de mudar o sinal: )
Componente :
Então, o vetor normal é:
Podemos simplificar dividindo por 5:
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor normal .