Determine a equação geral do plano pi de equações:
l x=1+3 h+t y=-1+h+2 t z=-h+3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos a equação geral do plano pi a partir das equações paramétricas fornecidas:
l x=1+3 h+t y=-1+h+2 t z=-h+3 t
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a representação de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto no plano e dois vetores que estejam contidos nele. Depois, usaremos esses vetores para encontrar o vetor normal ao plano e, por fim, escreveremos a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto específico no plano pi. Nas equações paramétricas, os termos independentes (sem h ou t) nos dão as coordenadas desse ponto. Observando as equações:
  • Para h = 0 e t = 0:
    • x = 1 + 3(0) + 0 = 1
    • y = -1 + 0 + 2(0) = -1
    • z = -0 + 3(0) = 0
Então, temos o ponto P(1, -1, 0) que está no plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, os coeficientes de h e t representam esses vetores. Vamos separar as equações:
  • Com o parâmetro h:
    • De
    • De
    • De
    Então, o vetor diretor correspondente a h é v1 = 3 1 -1 .
  • Com o parâmetro t:
    • De
    • De
    • De
    Então, o vetor diretor correspondente a t é v2 = 1 2 3 .

Passo 4

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar o vetor normal ( n) ao plano. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores diretores v1 e v2. A maneira de encontrar esse vetor é calculando o produto vetorial entre v1 e v2.
Vamos calcular n = v1 times v2:
n = i & j & k 3 & 1 & -1 1 & 2 & 3 = i(1 cdot 3 - (-1) cdot 2) - j(3 cdot 3 - (-1) cdot 1) + k(3 cdot 2 - 1 cdot 1)
Calculando cada componente:
  • Componente i:
    1 cdot 3 - (-1) cdot 2 = 3 + 2 = 5
  • Componente j:
    3 cdot 3 - (-1) cdot 1 = 9 + 1 = 10 (lembre-se de mudar o sinal: -10)
  • Componente k:
    3 cdot 2 - 1 cdot 1 = 6 - 1 = 5
Então, o vetor normal é:
n = 5 -10 5
Podemos simplificar dividindo por 5:
n = 1 -2 1

Passo 5

Com o vetor normal n = 1 -2 1 e o ponto P(1, -1, 0), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P e (A, B, C) são as componentes do vetor normal n.
Substituindo os valores:
1(x - 1) - 2(y + 1) + 1(z - 0) = 0
Distribuindo:
x - 1 - 2y - 2 + z = 0
Simplificando:
x - 2y + z - 3 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
x - 2y + z - 3 = 0

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