Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados:
c) f(x) = x^2 - 4, [-1, 3]

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos máximos e mínimos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o uso da derivada para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos ou mínimos locais. Igualando a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada em torno do ponto crítico para entender o comportamento da função:
  • Para , por exemplo, :
    (negativo)
  • Para , por exemplo, :
    (positivo)

Passo 5

Interpretando os sinais da derivada:
  • Quando , a função está decrescendo.
  • Quando , a função está crescendo.
Então:
  • No intervalo , : a função está decrescendo.
  • No intervalo , : a função está crescendo.

Passo 6

Vamos identificar os extremos locais:
  • No ponto crítico , a função muda de decrescente para crescente. Isso indica um mínimo local.
Agora, calculamos o valor da função nesse ponto:

Passo 7

Também devemos verificar os extremos nos limites do intervalo :
  • Em :
  • Em :

Resposta

  • Intervalo de Decrescimento:
  • Intervalo de Crescimento:
  • Mínimo Local: Em ,
  • Máximo Local: Não há máximo local no intervalo . O valor máximo ocorre no ponto com .

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