Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados:
c)
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos máximos e mínimos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o uso da derivada para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos ou mínimos locais. Igualando a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada em torno do ponto crítico para entender o comportamento da função:
-
Para
, por exemplo, : (negativo) -
Para
, por exemplo, : (positivo)
Passo 5
Interpretando os sinais da derivada:
- Quando
, a função está decrescendo. - Quando
, a função está crescendo.
Então:
- No intervalo
, : a função está decrescendo. - No intervalo
, : a função está crescendo.
Passo 6
Vamos identificar os extremos locais:
- No ponto crítico
, a função muda de decrescente para crescente. Isso indica um mínimo local.
Agora, calculamos o valor da função nesse ponto:
Passo 7
Também devemos verificar os extremos nos limites do intervalo
:
-
Em
: -
Em
:
Resposta
- Intervalo de Decrescimento:
- Intervalo de Crescimento:
- Mínimo Local: Em
, - Máximo Local: Não há máximo local no intervalo
. O valor máximo ocorre no ponto com .