Determine os seguintes limites utilizando a Regra de Lf)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício cai no conteúdo de limites em cálculo e vamos usar a Regra de L’Hospital para chegar na resposta. A Regra de L’Hospital é útil quando encontramos expressões indeterminadas como
ou
durante o cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar qual é o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
, então . -
Denominador:
, então .
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos diz que:
desde que o limite da derivada exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Passo 4
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Agora, vamos calcular cada parte:
Ainda estamos com uma forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Derivando novamente:
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Agora, substituímos novamente no limite:
Resposta
Substituindo
:
Então,
Resposta final:
.