Determine os seguintes limites utilizando a Regra de Lf) lim x pi / 2 1-sen x1+cos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício cai no conteúdo de limites em cálculo e vamos usar a Regra de L’Hospital para chegar na resposta. A Regra de L’Hospital é útil quando encontramos expressões indeterminadas como ou durante o cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar qual é o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de .
  • Numerador:
    , então .
  • Denominador:
    , então .
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos diz que:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite da derivada exista.
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador: f'(x) = -cos x
    g'(x) = -2sin 2x
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Substituindo as derivadas no limite, temos:
lim x pi / 2 -cos x-2sin 2x = lim x pi / 2 cos x2sin 2x
Agora, vamos calcular cada parte:
  • ddx (cos x) = -sin x
  • ddx (2sin 2x) = 4cos 2x
Ainda estamos com uma forma indeterminada lim x pi / 2 -sin x4cos 2x , então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Derivando novamente:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Agora, substituímos novamente no limite:

Resposta

Substituindo -14 cdot (-1) = -1-4 = 14 :
Então,
Resposta final: .

Exercícios relacionados