Determinar os intervalos onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar nos quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função para facilitar a derivação. Multiplicando os três fatores:
Vamos multiplicar os dois primeiros termos primeiro:
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro termo:
Então, a função expandida é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de , que nos mostra a taxa de variação da função. A derivada de é:

Passo 4

Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar onde a derivada é positiva ou negativa. Vamos resolver a inequação e .
Primeiro, vamos achar as raízes da equação :
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são e .

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelas raízes:
Vamos escolher um valor de em cada intervalo e verificar o sinal de :
  1. Se :
Então, no primeiro intervalo.
  1. Se :
Então, no segundo intervalo.
  1. Se :
Então, no terceiro intervalo.

Resposta

A função está crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo .

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(d)