Determinar os intervalos onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar nos quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função
para facilitar a derivação. Multiplicando os três fatores:
Vamos multiplicar os dois primeiros termos primeiro:
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro termo:
Então, a função expandida é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
, que nos mostra a taxa de variação da função. A derivada de
é:
Passo 4
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar onde a derivada
é positiva ou negativa. Vamos resolver a inequação
e
.
Primeiro, vamos achar as raízes da equação
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados pelas raízes:
Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e verificar o sinal de
:
- Se
:
Então,
no primeiro intervalo.
- Se
:
Então,
no segundo intervalo.
- Se
:
Então,
no terceiro intervalo.
Resposta
A função
está crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
.
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.
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.
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, no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de
.
(d)
(d)