Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão da função abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função
. Isso significa que vamos identificar onde a concavidade da função muda, ou seja, de para cima para para baixo ou vice-versa. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada vai nos ajudar a entender a taxa de variação da função.
A função é:
Podemos reescrever isso como:
Aplicando a regra do poder para derivar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. A segunda derivada nos mostra como a concavidade da função se comporta.
Dando continuidade:
Vamos usar a regra do quociente para derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos simplificar mais:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos de inflexão, ou seja, onde
ou onde
não existe.
A segunda derivada é:
Primeiro, vamos ver onde
é igual a zero:
Isso não tem solução real, já que
não pode ser negativo. Portanto,
nunca é zero.
Agora, vamos verificar onde
não existe. A segunda derivada não existe quando o denominador é zero:
Então,
não existe em
e
. Esses são os candidatos a pontos de inflexão.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se nesses pontos
e
a concavidade realmente muda, ou seja, se
troca de sinal passando por esses valores.
Vamos analisar os intervalos:
-
Para
: -
(porque é maior que 4) - O denominador
- O numerador
- Então,
(concavidade para cima)
-
-
Entre
: -
- O denominador
- O numerador
- Então,
(concavidade para baixo)
-
-
Para
: -
- O denominador
- O numerador
- Então,
(concavidade para cima)
-
Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em
e de baixo para cima em
.
Resposta
Os pontos de inflexão da função
são em
e
.
- Em
: A concavidade muda de para cima para para baixo. - Em
: A concavidade muda de para baixo para para cima.
Exercícios relacionados
Determinar os intervalos onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
.
Encontre os pontos críticos das funções abaixo
Encontre o ponto terminal,
, no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de
.
(d)
(d)
Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.