Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão da função abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função . Isso significa que vamos identificar onde a concavidade da função muda, ou seja, de para cima para para baixo ou vice-versa. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada vai nos ajudar a entender a taxa de variação da função.
A função é:
Podemos reescrever isso como:
Aplicando a regra do poder para derivar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . A segunda derivada nos mostra como a concavidade da função se comporta.
Dando continuidade:
Vamos usar a regra do quociente para derivar novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos simplificar mais:

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos de inflexão, ou seja, onde ou onde não existe.
A segunda derivada é:
Primeiro, vamos ver onde é igual a zero:
Isso não tem solução real, já que não pode ser negativo. Portanto, nunca é zero.
Agora, vamos verificar onde não existe. A segunda derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, não existe em e . Esses são os candidatos a pontos de inflexão.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se nesses pontos e a concavidade realmente muda, ou seja, se troca de sinal passando por esses valores.
Vamos analisar os intervalos:
  1. Para :
    • (porque é maior que 4)
    • O denominador
    • O numerador
    • Então, (concavidade para cima)
  2. Entre :
    • O denominador
    • O numerador
    • Então, (concavidade para baixo)
  3. Para :
    • O denominador
    • O numerador
    • Então, (concavidade para cima)
Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em e de baixo para cima em .

Resposta

Os pontos de inflexão da função são em e .
  • Em : A concavidade muda de para cima para para baixo.
  • Em : A concavidade muda de para baixo para para cima.

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