Determinar M in M3(R), inversível, tal que M^-1 A M seja diagonal onde
A=(ccc 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma matriz inversível de ordem 3 que, quando fizeremos , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso é baseado no conteúdo de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Basicamente, vamos encontrar os valores próprios de e os vetores próprios correspondentes para montar a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda . Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante e resolvendo a equação, encontramos que os autovalores são , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
  • Para 2x + 4z = 0 3x - 4y + 12z = 0 x - 2y + 5z = 0 :
Resolvemos x + 4z = 0 3x - 5y + 12z = 0 x - 2y + 4z = 0 :
0x + 0y + 4z = 0 3x - 6y + 12z = 0 x - 2y + 3z = 0
Da primeira equação, . Substituindo nas outras, encontramos que . Assim, um autovetor é .
  • Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, e . Então, um autovetor é .
  • Para :
Resolvemos :
Dessa, vemos que , . Então, um autovetor é .

Passo 4

Com os autovetores M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 , e , montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:

Passo 5

Finalmente, verificamos que M^-1 A M = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é inversível (o que é, já que os autovetores são linearmente independentes) e que:
Essa matriz é diagonal, conforme o que queríamos.

Resposta

A matriz inversível M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 que diagonaliza é:

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