Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma matriz inversível de ordem 3 que, quando fizeremos , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso é baseado no conteúdo de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Basicamente, vamos encontrar os valores próprios de e os vetores próprios correspondentes para montar a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda . Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante e resolvendo a equação, encontramos que os autovalores são , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Da primeira equação, . Substituindo nas outras, encontramos que . Assim, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, e . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Dessa, vemos que , . Então, um autovetor é .
Passo 4
Com os autovetores M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 , e , montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:
Passo 5
Finalmente, verificamos que M^-1 A M = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é inversível (o que é, já que os autovetores são linearmente independentes) e que:
Essa matriz é diagonal, conforme o que queríamos.
Resposta
A matriz inversível M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 que diagonaliza é: