Sejam
e
funções. Prove que se
é injetora e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três funções:
,
e
. A gente precisa provar que se
é injetora (ou seja, cada elemento de
mapeia para um único elemento em
) e se
, então necessariamente
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como a composição de funções funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Ou seja, elementos diferentes de
não podem “colar” no mesmo elemento de
.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Isso quer dizer que, para todo
em
, temos:
Então, para cada elemento
,
é igual a
.
Passo 4
Como
é injetora, podemos aplicar a definição da injetividade aqui. Se
, e
não “colapsa” elementos diferentes, então deve ser que
para todo
em
.
Passo 5
Se
para todo
em
, isso significa exatamente que as funções
e
são iguais em todos os pontos do domínio
. Portanto,
.
Resposta
Logo, provamos que se
é injetora e
, então
.