Sejam f: A B, g: A B e h: B C funções. Prove que se h é injetora e h circ g=h circ f, então g=f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três funções: , e . A gente precisa provar que se é injetora (ou seja, cada elemento de mapeia para um único elemento em ) e se , então necessariamente . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e como a composição de funções funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Ou seja, elementos diferentes de não podem “colar” no mesmo elemento de .

Passo 3

Agora, sabemos que h(g(a)) = h(f(a)) . Isso quer dizer que, para todo em , temos:
Então, para cada elemento , é igual a .

Passo 4

Como é injetora, podemos aplicar a definição da injetividade aqui. Se , e não “colapsa” elementos diferentes, então deve ser que para todo em .

Passo 5

Se para todo em , isso significa exatamente que as funções e são iguais em todos os pontos do domínio . Portanto, .

Resposta

Logo, provamos que se é injetora e , então .

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