Uma função f: R R é dita estritamente crescente se para todo x1 temos f(x1). Mostre que se f: R R é estritamente crescente, então f é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que se uma função é estritamente crescente, então ela é injetora. Aqui, estamos lidando com funções em matemática, especificamente no estudo de propriedades das funções como crescimento e injectividade. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa cada termo e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função estritamente crescente. Isso quer dizer que, se você pegar dois números reais qualquer, digamos e , onde , então os valores da função também seguem essa ordem: . Ou seja, conforme aumenta, também aumenta.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se elementos distintos do domínio são mapeados para elementos distintos do contradomínio. Em termos mais simples, se , então necessariamente . Não pode haver dois diferentes que dão o mesmo valor de .

Passo 4

Para provar que uma função estritamente crescente é injetora, vamos assumir o contrário e ver se chegamos a uma contradição. Suponha que existam e em tais que mas .

Passo 5

Sem perda de generalidade, vamos supor que . Como a função é estritamente crescente, isso implicaria que . Mas isso entra em conflito com nossa suposição de que .

Passo 6

Essa contradição mostra que nossa suposição inicial está errada. Portanto, não podem existir dois valores distintos de que resultem no mesmo valor de . Logo, a função é de fato injetora.

Resposta

Assim, demonstramos que toda função estritamente crescente é injetora.

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