Uma função
é dita estritamente crescente se para todo
temos
. Mostre que se
é estritamente crescente, então
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que se uma função
é estritamente crescente, então ela é injetora. Aqui, estamos lidando com funções em matemática, especificamente no estudo de propriedades das funções como crescimento e injectividade. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa cada termo e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função estritamente crescente. Isso quer dizer que, se você pegar dois números reais qualquer, digamos
e
, onde
, então os valores da função também seguem essa ordem:
. Ou seja, conforme
aumenta,
também aumenta.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se elementos distintos do domínio são mapeados para elementos distintos do contradomínio. Em termos mais simples, se
, então necessariamente
. Não pode haver dois
diferentes que dão o mesmo valor de
.
Passo 4
Para provar que uma função estritamente crescente é injetora, vamos assumir o contrário e ver se chegamos a uma contradição. Suponha que existam
e
em
tais que
mas
.
Passo 5
Sem perda de generalidade, vamos supor que
. Como a função é estritamente crescente, isso implicaria que
. Mas isso entra em conflito com nossa suposição de que
.
Passo 6
Essa contradição mostra que nossa suposição inicial está errada. Portanto, não podem existir dois valores distintos de
que resultem no mesmo valor de
. Logo, a função
é de fato injetora.
Resposta
Assim, demonstramos que toda função estritamente crescente
é injetora.