Determinar uma matriz
de maneira que
seja diagonal, no seguinte caso:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz
que, ao multiplicar
, a matriz resultante seja diagonal. Estamos trabalhando com matrizes de ordem 2 e usando números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são chave para diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz
. Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando a equação característica para a matriz
:
O determinante é:
Então, resolvendo
:
Passo 4
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos
Passo 5
Com os autovetores em mãos, podemos formar a matriz
cujas colunas são esses autovetores:
Passo 6
Agora, para confirmar que
funciona, vamos calcular
. Como
é formada pelos autovetores, essa operação deve resultar numa matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Fazendo os cálculos, teremos:
Resposta
A matriz
que diagonaliza
é: