Determinar uma matriz de maneira que seja diagonal, no seguinte caso:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que, ao multiplicar , a matriz resultante seja diagonal. Estamos trabalhando com matrizes de ordem 2 e usando números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são chave para diagonalizar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz . Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a equação característica para a matriz :
O determinante é:
Então, resolvendo :

Passo 4

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos

Passo 5

Com os autovetores em mãos, podemos formar a matriz cujas colunas são esses autovetores:

Passo 6

Agora, para confirmar que funciona, vamos calcular . Como é formada pelos autovetores, essa operação deve resultar numa matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Fazendo os cálculos, teremos:

Resposta

A matriz que diagonaliza é:

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Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno.
b) Mostre que se é uma isometria, então seus auto-valores têm módulo 1 . (Use que se é um auto-vetor, então e .
a) Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Determinar .
Verifique quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação a operação indicada.((d) onde .
Mostre munido da operação
é um grupo.