Determinar uma matriz M in M2(C) de maneira que M^-1 A M seja diagonal, no seguinte caso:
c) (cc0 & i -i & 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que, ao multiplicar , a matriz resultante seja diagonal. Estamos trabalhando com matrizes de ordem 2 e usando números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são chave para diagonalizar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a equação característica para a matriz 0 & i -i & 0 :
det( 0 & i -i & 0 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = det -lambda & i -i & -lambda
O determinante é:
(-lambda)(-lambda) - (i)(-i) = lambda^2 - (-i^2) = lambda^2 - 1
Então, resolvendo lambda^2 = 1 Rightarrow lambda = pm 1 :

Passo 4

Agora que temos os autovalores -1 & i -i & -1 v1 v2 = 0 0 e i 1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 1 & i -i & 1 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos -i 1 :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos

Passo 5

Com os autovetores em mãos, podemos formar a matriz M = i & -i 1 & 1 cujas colunas são esses autovetores:

Passo 6

Agora, para confirmar que M^-1 A M = 1 & 0 0 & -1 funciona, vamos calcular . Como é formada pelos autovetores, essa operação deve resultar numa matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
Fazendo os cálculos, teremos:

Resposta

A matriz M = i & -i 1 & 1 que diagonaliza é:

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