Determinar uma matriz de maneira que seja diagonal, no seguinte caso:
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que, ao multiplicar , a matriz resultante seja diagonal. Estamos trabalhando com matrizes de ordem 2 e usando números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são chave para diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz . Para isso, a gente resolve a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Calculando a equação característica para a matriz :
O determinante é:
Então, resolvendo :
Passo 4
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos
Passo 5
Com os autovetores em mãos, podemos formar a matriz cujas colunas são esses autovetores:
Passo 6
Agora, para confirmar que funciona, vamos calcular . Como é formada pelos autovetores, essa operação deve resultar numa matriz diagonal com os autovalores na diagonal.