Seja um espaço vetorial finitamente gerado sobre com produto interno.
b) Mostre que se é uma isometria, então seus auto-valores têm módulo 1 . (Use que se é um auto-vetor, então e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um espaço vetorial com produto interno sobre os números complexos e uma transformação linear chamada que é uma isometria (ou seja, preserva o produto interno). O que a gente precisa mostrar é que os auto-valores de têm módulo igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produtos internos, transformações lineares e auto-valores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma transformação linear é uma isometria se, para quaisquer vetores e em , o produto interno é preservado, ou seja:
No caso específico onde , temos:
Isso significa que a norma de é preservada por .
Passo 3
Agora, consideremos que é um auto-vetor de com auto-valor , ou seja:
Queremos mostrar que o módulo de é 1, isto é, .
Passo 4
Vamos calcular o produto interno usando que :
Sabemos que, para números complexos, .
Passo 5
Mas, como é uma isometria, temos que . Então:
Podemos dividir ambos os lados por (que é positivo, já que não é o vetor nulo):
Passo 6
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos: