Seja V um espaço vetorial finitamente gerado sobre C com produto interno.
b) Mostre que se A: V V é uma isometria, então seus auto-valores têm módulo 1 . (Use que se u in V é um auto-vetor, então A u=lambda u e lang<= A u, A urang<==lang<= u, urang<=).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um espaço vetorial V com produto interno sobre os números complexos e uma transformação linear chamada A que é uma isometria (ou seja, preserva o produto interno). O que a gente precisa mostrar é que os auto-valores de A têm módulo igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produtos internos, transformações lineares e auto-valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma transformação linear A: V V é uma isometria se, para quaisquer vetores u e v em V, o produto interno é preservado, ou seja:
lang<= A u, A v rang<= = lang<= u, v rang<=
No caso específico onde u = v, temos:
lang<= A u, A u rang<= = lang<= u, u rang<=
Isso significa que a norma de u é preservada por A.

Passo 3

Agora, consideremos que u in V é um auto-vetor de A com auto-valor lambda, ou seja:
A u = lambda u
Queremos mostrar que o módulo de lambda é 1, isto é, |lambda| = 1.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno lang<= A u, A u rang<= usando que A u = lambda u:
lang<= A u, A u rang<= = lang<= lambda u, lambda u rang<=
Sabemos que, para números complexos, lang<= lambda u, lambda u rang<= = |lambda|^2 lang<= u, u rang<=.

Passo 5

Mas, como A é uma isometria, temos que lang<= A u, A u rang<= = lang<= u, u rang<=. Então:
|lambda|^2 lang<= u, u rang<= = lang<= u, u rang<=
Podemos dividir ambos os lados por lang<= u, u rang<= (que é positivo, já que u não é o vetor nulo):
|lambda|^2 = 1

Passo 6

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
|lambda| = 1
Isso mostra que o módulo dos auto-valores de A é 1.

Resposta

Os auto-valores de A têm módulo igual a 1.

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