Seja
um espaço vetorial finitamente gerado sobre
com produto interno.
b) Mostre que se
é uma isometria, então seus auto-valores têm módulo 1 . (Use que se
é um auto-vetor, então
e
.
b) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um espaço vetorial
com produto interno sobre os números complexos e uma transformação linear chamada
que é uma isometria (ou seja, preserva o produto interno). O que a gente precisa mostrar é que os auto-valores de
têm módulo igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produtos internos, transformações lineares e auto-valores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma isometria. Uma transformação linear
é uma isometria se, para quaisquer vetores
e
em
, o produto interno é preservado, ou seja:
No caso específico onde
, temos:
Isso significa que a norma de
é preservada por
.
Passo 3
Agora, consideremos que
é um auto-vetor de
com auto-valor
, ou seja:
Queremos mostrar que o módulo de
é 1, isto é,
.
Passo 4
Vamos calcular o produto interno
usando que
:
Sabemos que, para números complexos,
.
Passo 5
Mas, como
é uma isometria, temos que
. Então:
Podemos dividir ambos os lados por
(que é positivo, já que
não é o vetor nulo):
Passo 6
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Isso mostra que o módulo dos auto-valores de
é 1.
Resposta
Os auto-valores de
têm módulo igual a 1.