Determinar , inversível, tal que seja diagonal onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é com matrizes e transformação de matrizes no espaço. O objetivo é encontrar uma matriz que, quando a gente faz , o resultado é uma matriz diagonal. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente na parte de diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda . Valores próprios são números det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(-4 - lambda)(5 - lambda) - (12)(-2)] - 0 + 4[3(-2) - (-4 - lambda)(1)] que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Agora que temos os vetores próprios, vamos montar a matriz M = -2 & -4 & 2 32 & 0 &1 1 &1 &0 com eles como colunas:
Passo 6
Para garantir que seja inversível, precisamos verificar se os vetores próprios são linearesmente independentes, o que é verdade se os valores próprios são distintos, o que são neste caso (0,1,2).
Então, é inversível.
Passo 7
Finalmente, aplicando a transformação M^-1 A M = 0 &0 &0 0 &1 &0 0 &0 &2 , obtemos uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:
Resposta
A matriz inversível M = -2 & -4 & 2 32 & 0 &1 1 &1 &0 que diagonaliza M^-1 A M = 0 &0 &0 0 &1 &0 0 &0 &2 é: