Determinar M in M3(R), inversível, tal que M^-1 A M seja diagonal onde
A=(rrr 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é com matrizes e transformação de matrizes no espaço. O objetivo é encontrar uma matriz que, quando a gente faz , o resultado é uma matriz diagonal. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente na parte de diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 4 3 & -4 - lambda & 12 1 & -2 & 5 - lambda . Valores próprios são números det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(-4 - lambda)(5 - lambda) - (12)(-2)] - 0 + 4[3(-2) - (-4 - lambda)(1)] que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante de :
Agora, calculando o determinante:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Calculando:
det(A - lambda I) &= (2 - lambda)[(-4 - lambda)(5 - lambda) - (12)(-2)] + 4[3(-2) - (-4 - lambda)(1)] &= (2 - lambda)[((-4)(5) -4(-lambda) -5lambda + lambda^2) + 24] + 4[-6 +4 +lambda] &= (2 - lambda)[-20 +4lambda -5lambda + lambda^2 +24] + 4[-2 +lambda] &= (2 - lambda)[lambda^2 -lambda +4] + 4(-2 + lambda) &= (2)(lambda^2 -lambda +4) - lambda(lambda^2 -lambda +4) -8 +4lambda &= 2lambda^2 -2lambda +8 -lambda^3 +lambda^2 -4lambda -8 +4lambda &= -lambda^3 +3lambda^2 -2lambda
Então, a equação característica é:
-lambda^3 +3lambda^2 -2lambda = 0
Podemos fatorar:
lambda(-lambda^2 +3lambda -2) = 0
Resolvendo:
lambda = 0 ou -lambda^2 +3lambda -2 =0
Resolvendo a segunda equação:
lambda^2 -3lambda +2 =0 Rightarrow lambda = 3 pm raiz9 -82 = 3 pm12 Rightarrow lambda =2 ou lambda =1
Então, os valores próprios são .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para A = 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 :
Resolvemos 2v1 + 0v2 +4v3 =0 3v1 -4v2 +12v3 =0 v1 -2v2 +5v3 =0 .
-2 -2v2 +5 =0 Rightarrow -2v2 +3 =0 Rightarrow v2 = 32
Resolvendo o sistema:
v0 = -2 32 1
Da primeira equação: A -I = 1 & 0 &4 3 & -5 &12 1 & -2 &4 .
Assumindo v1 +4v3 =0 3v1 -5v2 +12v3 =0 v1 -2v2 +4v3 =0 , então -4 -2v2 +4 =0 Rightarrow -2v2 +0 =0 Rightarrow v2 =0 .
Substituindo na terceira equação:
v1 = -4 0 1
Então, um vetor próprio para A -2I = 0 & 0 &4 3 & -6 &12 1 & -2 &3 é:
0v1 +0v2 +4v3 =0 3v1 -6v2 +12v3 =0 v1 -2v2 +3v3 =0
Para v1 -2v2 =0 Rightarrow v1 =2v2 :
Resolvemos v2 = 2 1 0 .
Sistema:
Da primeira equação: .
Assumindo , então .
Substituindo na terceira equação:
Então, um vetor próprio para é:
Para :
Resolvemos .
Sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Assumindo , então .
Então, um vetor próprio para é:

Passo 5

Agora que temos os vetores próprios, vamos montar a matriz M = -2 & -4 & 2 32 & 0 &1 1 &1 &0 com eles como colunas:

Passo 6

Para garantir que seja inversível, precisamos verificar se os vetores próprios são linearesmente independentes, o que é verdade se os valores próprios são distintos, o que são neste caso (0,1,2).
Então, é inversível.

Passo 7

Finalmente, aplicando a transformação M^-1 A M = 0 &0 &0 0 &1 &0 0 &0 &2 , obtemos uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:

Resposta

A matriz inversível M = -2 & -4 & 2 32 & 0 &1 1 &1 &0 que diagonaliza M^-1 A M = 0 &0 &0 0 &1 &0 0 &0 &2 é:
E a matriz diagonal resultante é:

Exercícios relacionados

Verifique se as retas
r:l x=3-2 t y=-4 t-1, z=4-3 t e s:l x=-2 t-1 y=-4 t-9 z=-3 t-2
são coincidentes ou paralelas.
Determine a interseção dos planos x+2 y-z=0 e -x+y-2 z=1.
Determine a interseção das retas u: x=2 t, y=1-t, z=2+2 t e v: x=1-s, y=2+s, z=-1+2 s.
Dados os pontos no espaço a seguir, verifique cada uma das informações fornecidas:
P=(2,-4,6), Q=(-3,0,3) e R=(0,8,-6)
O vetor r é ortogonal ao vetor e=(1,0,0) ?
Dica:
  • Considere p sendo o vetor O P, q=O Q e r=O R