Encontrar as equações reduzidas da reta que é a interseção dos planos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações reduzidas da reta que é a interseção de dois planos. Para isso, vamos usar um pouco de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar das equações dos planos fornecidos e entender como encontrar a reta de interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos dois planos que temos:
Cada plano pode ser representado na forma geral , onde , e são os coeficientes que definem a orientação do plano.

Passo 3

Para encontrar a reta de interseção desses dois planos, precisamos determinar um vetor diretor da reta. Esse vetor diretor pode ser encontrado calculando o produto vetorial dos vetores normais dos planos. Os vetores normais são dados pelos coeficientes de , e em cada equação.
Então, os vetores normais são:
Para :
Para :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -5:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que está na reta de interseção, ou seja, um ponto que satisfaz as duas equações dos planos simultaneamente. Para isso, vamos resolver o sistema de equações com as duas equações dos planos.
Vamos escolher um valor para uma das variáveis para facilitar. Por exemplo, vamos assumir e resolver para e .
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Multiplicamos a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, temos , e . Portanto, um ponto na reta de interseção é .

Passo 5

Com o vetor diretor e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Onde é o parâmetro.
Para encontrar as equações reduzidas, vamos expressar a partir de cada uma das equações de , e :
De :
De :
De :
Igualando as expressões de :
Multiplicando todas as partes por 2 para eliminar os denominadores:
Assim, as equações reduzidas da reta são:

Resposta

As equações reduzidas da reta de interseção dos planos são:

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Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Assinale a alternativa
  • 25 pontos
    que indica o tipo do sistema
O sistema possui única solução
O sistema admite infinitas soluções
O sistema não possui solução
O sistema não é equivalente a nenhum sistema escalonado
Determinar de modo que os planos e sejam perpendiculares.
Seja dada por uma transformação linear tal que
onde é uma base do . Encontre a base do