Encontrar as equações reduzidas da reta que é a interseção dos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações reduzidas da reta que é a interseção de dois planos. Para isso, vamos usar um pouco de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar das equações dos planos fornecidos e entender como encontrar a reta de interseção entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos dois planos que temos:
Cada plano pode ser representado na forma geral , onde , e são os coeficientes que definem a orientação do plano.
Passo 3
Para encontrar a reta de interseção desses dois planos, precisamos determinar um vetor diretor da reta. Esse vetor diretor pode ser encontrado calculando o produto vetorial dos vetores normais dos planos. Os vetores normais são dados pelos coeficientes de , e em cada equação.
Então, os vetores normais são:
Para :
Para :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -5:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um ponto que está na reta de interseção, ou seja, um ponto que satisfaz as duas equações dos planos simultaneamente. Para isso, vamos resolver o sistema de equações com as duas equações dos planos.
Vamos escolher um valor para uma das variáveis para facilitar. Por exemplo, vamos assumir 3x - y - 3 = 0 Rightarrow 3x - y = 3 (1) e resolver para x + 3y + 4 = 0 Rightarrow x + 3y = -4 (2) e 3x - y = 3 x + 3y = -4 .
Substituindo 3x - y = 3 3x + 9y = -12 na primeira equação:
(3x + 9y) - (3x - y) = -12 - 3
E na segunda equação:
10y = -15 Rightarrow y = -1510 = -32
Agora, temos o sistema:
3x - (-32) = 3 Rightarrow 3x + 32 = 3
Vamos resolver esse sistema. Multiplicamos a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
3x = 3 - 32 = 32 Rightarrow x = 32 div 3 = 12
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, temos , e . Portanto, um ponto na reta de interseção é .
Passo 5
Com o vetor diretor x = 12 + t y = -32 + t z = 0 - 2t e o ponto t = x - 12 , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
t = y + 32
Onde t = -z2 é o parâmetro.
Para encontrar as equações reduzidas, vamos expressar x - 12 = y + 32 = -z2 a partir de cada uma das equações de 2x - 1 = 2y + 3 = -z , x - 121 = y + 321 = z-2 e :
De :
De :
De :
Igualando as expressões de :
Multiplicando todas as partes por 2 para eliminar os denominadores:
Assim, as equações reduzidas da reta são:
Resposta
As equações reduzidas da reta de interseção dos planos são: