Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
lx1+2 x2 3 x3=5 x1+3 x2+5 x3=11 x1-x3=-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me mandou! A gente vai usar três métodos diferentes: escalonamento (também conhecido como método de eliminação de Gauss), método da inversa e regra de Cramer. Para fazer isso, a gente vai precisar entender matrizes e um pouquinho de álgebra linear. Vamos nessa!

Passo 2

Método de Escalonamento (Eliminação de Gauss)
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & 3 & | & 5 1 & 3 & 5 & | & 11 1 & 0 & -1 & | & -7
A ideia aqui é transformar essa matriz em uma forma triangular, ou seja, zerar os elementos abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o (1 - 1) (3 - 2) (5 - 3) | (11 - 5) Rightarrow 0 1 2 | 6 delas.
Subtraindo a Linha 1 da Linha 2:
(1 - 1) (0 - 2) (-1 - 3) | (-7 - 5) Rightarrow 0 -2 -4 | -12
Subtraindo a Linha 1 da Linha 3:
1 & 2 & 3 & | & 5 0 & 1 & 2 & | & 6 0 & -2 & -4 & | & -12
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 2 times (0 1 2 | 6) + (0 -2 -4 | -12) = 0 0 0 | 0 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira:
1 & 2 & 3 & | & 5 0 & 1 & 2 & | & 6 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz agora é:

Passo 5

Como a terceira linha virou x2 + 2x3 = 6 Rightarrow x2 = 6 - 2t , isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Vamos expressar x1 + 2x2 + 3x3 = 5 Rightarrow x1 = 5 - 2x2 - 3x3 como um parâmetro x1 = 5 - 2(6 - 2t) - 3t = 5 - 12 + 4t - 3t = -7 + t .
Da segunda equação:
x1 = -7 + t x2 = 6 - 2t x3 = t
Da primeira equação:
Substituindo :
Então, as soluções são:
Onde é um número real qualquer.

Passo 6

Método da Inversa
Vamos escrever o sistema na forma matricial:
A cdot x = b
Onde:
A = 1 & 2 & 3 1 & 3 & 5 1 & 0 & -1 , x = x1 x2 x3 , b = 5 11 -7
Para achar , precisamos encontrar a inversa de , desde que ela exista.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (3 cdot (-1) - 5 cdot 0) - 2 cdot (1 cdot (-1) - 5 cdot 1) + 3 cdot (1 cdot 0 - 3 cdot 1) :
= 1 cdot (-3) - 2 cdot (-6) + 3 cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
Como o determinante é zero, a matriz não tem inversa. Portanto, o método da inversa não pode ser aplicado aqui.

Passo 8

Método de Cramer
A regra de Cramer também depende do determinante da matriz . Como , a regra de Cramer não pode ser aplicada para encontrar uma solução única.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de um parâmetro x1 = -7 + t x2 = 6 - 2t x3 = t :
Onde é um número real qualquer.

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