Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me mandou! A gente vai usar três métodos diferentes: escalonamento (também conhecido como método de eliminação de Gauss), método da inversa e regra de Cramer. Para fazer isso, a gente vai precisar entender matrizes e um pouquinho de álgebra linear. Vamos nessa!
Passo 2
Método de Escalonamento (Eliminação de Gauss)
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
A ideia aqui é transformar essa matriz em uma forma triangular, ou seja, zerar os elementos abaixo da diagonal principal.
Passo 3
Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o delas.
Subtraindo a Linha 1 da Linha 2:
Subtraindo a Linha 1 da Linha 3:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira:
A matriz agora é:
Passo 5
Como a terceira linha virou , isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Vamos expressar como um parâmetro .
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo :
Então, as soluções são:
Onde é um número real qualquer.
Passo 6
Método da Inversa
Vamos escrever o sistema na forma matricial:
Onde:
Para achar , precisamos encontrar a inversa de , desde que ela exista.
Passo 7
Primeiro, vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é zero, a matriz não tem inversa. Portanto, o método da inversa não pode ser aplicado aqui.
Passo 8
Método de Cramer
A regra de Cramer também depende do determinante da matriz . Como , a regra de Cramer não pode ser aplicada para encontrar uma solução única.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de um parâmetro :