Determinar m de modo que os planos pi1 e pi2 sejam perpendiculares, onde: pi1: m x+y-3 z-1=0 e pi2: 2 x-3 m y+4 z+1=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de de forma que os planos e sejam perpendiculares. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a perpendicularidade entre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar se dois planos são perpendiculares utilizando os vetores normais deles.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais também forem perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares quando o produto interno deles é igual a zero.
O produto interno de n1 cdot n2 = m cdot 2 + 1 cdot (-3m) + (-3) cdot 4 e é:

Passo 4

Vamos calcular o produto interno:
2m - 3m - 12 = -m - 12
Para que os planos sejam perpendiculares, esse produto interno deve ser igual a zero:
-m - 12 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação para -m = 12 m = -12 :

Resposta

O valor de que torna os planos e perpendiculares é .

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