Um dipolo elétrico de módulo |p| gira no plano xy com velocidade angular constante omega. Um observador situado no plano xz observa a radiação emitida numa direção que faz um ângulo theta com o eixo z. Determine a expressão da potência média emitida pelo dipolo por unidade de ângulo sólido.

Passo 1

Vamos lá, amigo! O problema fala sobre um dipolo elétrico, que é basicamente um par de cargas positivas e negativas separadas por uma certa distância. Esse dipolo está girando no plano xy com uma velocidade angular constante, representada pela letra grega ω. Um observador está no plano xz e está observando a radiação que esse dipolo emite em uma direção que faz um ângulo θ com o eixo z. Nosso objetivo aqui é descobrir quanta potência, ou seja, energia por unidade de tempo, está sendo emitida pelo dipolo por cada unidade de ângulo sólido nessa direção específica.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos entender primeiro o que é potência radiada por um dipolo elétrico. Quando um dipolo elétrico oscila, ele emite ondas eletromagnéticas, ou seja, radiação. A quantidade de energia que está sendo enviada para o espaço através dessas ondas é o que chamamos de potência radiada. Essa potência depende de vários fatores, como a amplitude do dipolo, a frequência de oscilação e a direção em que estamos observando.

Passo 3

O dipolo está girando com uma velocidade angular ω no plano xy, o que significa que seu momento de dipolo, representado por p(t) = p cos(omega t) i + p sin(omega t) j , está variando com o tempo. Podemos expressar isso matematicamente como:
Aqui, é a magnitude do momento dipolar, e e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 4

A radiação emitida por esse dipolo depende da aceleração das cargas que compõem o dipolo. Como o dipolo está girando, as cargas estão acelerando continuamente, o que gera a radiação. A potência radiada por unidade de ângulo sólido, que é o que queremos encontrar, pode ser calculada usando a seguinte fórmula da teoria de dipolo radiativo:
dPdOmega = p0^2 omega^4 sin^2 theta32 pi^2 epsilon0 c^3
Aqui, é a potência por unidade de ângulo sólido, é a amplitude do momento dipolar, é a velocidade angular, é o ângulo com o eixo z, é a permissividade do vácuo, e é a velocidade da luz.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Como o dipolo está no plano xy e estamos observando no plano xz, o ângulo θ é exatamente o que está sendo dado no problema. Portanto, substituímos diretamente na fórmula:
dPdOmega = |p|^2 omega^4 sin^2 theta32 pi^2 epsilon0 c^3
Isso nos dá a potência média emitida pelo dipolo por unidade de ângulo sólido na direção especificada pelo ângulo θ.

Resposta

A potência média emitida pelo dipolo por unidade de ângulo sólido é dada por
dPdOmega = |p|^2 omega^4 sin^2 theta32 pi^2 epsilon0 c^3

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