Determinar e para que os seguintes operadores no sejam simétricos:
b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de e tais que o operador , definido por , seja simétrico. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de ordem . Os coeficientes de nos dão diretamente os elementos dessa matriz:

Passo 3

Um operador linear é simétrico se a sua matriz for igual à sua transposta. A transposta de é obtida trocando as linhas pelas colunas:

Passo 4

Para que seja simétrico, devemos ter . Isso significa que cada elemento de deve ser igual ao correspondente de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. Da primeira equação:
  2. A segunda equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
  3. Da terceira equação:

Resposta

Os valores que tornam o operador simétrico são e .

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