Determinar e para que os seguintes operadores no sejam simétricos:
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de e tais que o operador , definido por , seja simétrico. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de ordem . Os coeficientes de nos dão diretamente os elementos dessa matriz:
Passo 3
Um operador linear é simétrico se a sua matriz for igual à sua transposta. A transposta de é obtida trocando as linhas pelas colunas:
Passo 4
Para que seja simétrico, devemos ter . Isso significa que cada elemento de deve ser igual ao correspondente de :
Substituindo os valores:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Da primeira equação:
A segunda equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
Da terceira equação:
Resposta
Os valores que tornam o operador simétrico são e .