Determine se é transformação linear. T: R^2 R^3, T(x, y)=(x, y, 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão nos pede para determinar se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Uma transformação linear deve obedecer a duas condições principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma propriedade básica das transformações lineares é que , ou seja, a imagem do vetor zero deve ser o vetor zero no espaço de chegada.

Passo 3

Vamos verificar se T(0, 0) = (0, 0, 1) . O vetor zero em 0 = (0, 0, 0) é . Aplicando :
Comparando com o vetor zero em :
Como , a função não satisfaz a propriedade básica das transformações lineares.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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