Seja uma base de , um espaço vetorial real com produto interno .
, a base é ortonormal?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um espaço vetorial real com um produto interno definido, e nos dá uma base . Também recebemos as coordenadas dos vetores e nessa base:
Além disso, sabemos que . A pergunta é: A base é ortonormal?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como verificar essa propriedade usando o produto interno dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortonormal. Uma base é ortonormal se satisfizer duas condições:
  1. Ortogonais: Cada par de vetores diferentes na base é ortogonal, ou seja, para .
  2. Norma unitária: Cada vetor da base tem norma igual a 1, ou seja, para todo .
Então, para verificar se é ortonormal, precisamos confirmar se todas essas condições são atendidas.

Passo 3

Vamos analisar as coordenadas dos vetores e na base . Os vetores e são combinações lineares dos vetores da base:
O produto interno entre e é dado por:
Mas como não temos informações sobre os produtos cruzados para , vamos focar na ideia de que se a base fosse ortonormal, o cálculo do produto interno seria simplificado.

Passo 4

Se a base fosse ortonormal, o produto interno entre e seria simplesmente o produto das coordenadas correspondentes:
No entanto, o enunciado nos diz que . Isso já nos dá uma pista importante: se a base fosse ortonormal, o resultado do produto interno seria , mas nos foi dado como .

Passo 5

Como o resultado do produto interno não coincide com o que esperaríamos se a base fosse ortonormal ( ), concluímos que a base não é ortonormal.

Resposta

Não, a base não é ortonormal.

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