Determine se é transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada
.
Passo 3
Verificando a propriedade 1: Adição de vetores
Sejam
e
. Vamos calcular
e
e ver se são iguais.
Primeiro, calculemos
.
Agora, aplicando
:
Por outro lado, calculando
:
Vimos que
. Então, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade 2: Multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor
e um escalar
. Precisamos verificar se
.
Primeiro, calculemos
.
Agora, aplicando
:
Por outro lado, calculando
:
Observamos que
. Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de uma transforma��ão linear estão satisfeitas, podemos concluir que
é uma transformação linear.