Determine se é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada .

Passo 3

Verificando a propriedade 1: Adição de vetores
Sejam e . Vamos calcular e e ver se são iguais.
Primeiro, calculemos .
Agora, aplicando :
Por outro lado, calculando :
Vimos que . Então, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade 2: Multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor e um escalar . Precisamos verificar se .
Primeiro, calculemos .
Agora, aplicando :
Por outro lado, calculando :
Observamos que . Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de uma transforma��ão linear estão satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

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Determinar e para que os seguintes operadores no sejam simétricos:
b)
Seja uma base de , um espaço vetorial real com produto interno .
, a base é ortonormal?
Determine se é transformação linear.