Determine se é transformação linear. T: R^2 R^2, T(x, y)=(-x, y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada .

Passo 3

Verificando a propriedade 1: Adição de vetores
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(x1 + x2), y1 + y2) = (-x1 - x2, y1 + y2) e T(u) = T(x1, y1) = (-x1, y1) . Vamos calcular T(v) = T(x2, y2) = (-x2, y2) e T(u) + T(v) = (-x1, y1) + (-x2, y2) = (-x1 - x2, y1 + y2) e ver se são iguais.
Primeiro, calculemos .
Agora, aplicando :
Por outro lado, calculando :
Vimos que . Então, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade 2: Multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor T(cu) = T(c x, c y) = (-(c x), c y) = (c(-x), c y) e um escalar T(u) = T(x, y) = (-x, y) . Precisamos verificar se cT(u) = c(-x, y) = (c(-x), c y) .
Primeiro, calculemos .
Agora, aplicando :
Por outro lado, calculando :
Observamos que . Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de uma transforma��ão linear estão satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

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