Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
Adição de vetores:
Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada .
Passo 3
Verificando a propriedade 1: Adição de vetores
Sejam e . Vamos calcular e e ver se são iguais.
Primeiro, calculemos .
Agora, aplicando :
Por outro lado, calculando :
Vimos que . Então, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade 2: Multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor e um escalar . Precisamos verificar se .
Primeiro, calculemos .
Agora, aplicando :
Por outro lado, calculando :
Observamos que . Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de uma transforma��ão linear estão satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.