Verificar, para a matriz
que
para quaisquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se, para a matriz
dada, a igualdade
é verdadeira para quaisquer vetores
e
em
. Isso está relacionado ao conteúdo de transformações lineares e produtos internos na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como calcular esses produtos usando a matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores
e
. Para dois vetores em
, se
e
, então:
Passo 3
Agora, queremos verificar se
. Isso significa que, ao aplicar a matriz
nos vetores
e
, o produto interno entre os vetores transformados deve ser igual ao produto interno original.
Primeiro, vamos calcular
e
.
A matriz
é:
Aplicando
em
:
De forma similar, para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto interno
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Vamos expandir os produtos:
Agora, somando as duas expressões:
Passo 6
Observamos que
. Portanto, a igualdade é satisfeita para quaisquer vetores
e
em
.
Resposta
A igualdade
é verdadeira para quaisquer
.