Verificar, para a matriz
B=[cc 1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 ]
que lang<= A u, A vrang<==lang<= u, vrang<= para quaisquer u, v in R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se, para a matriz dada, a igualdade é verdadeira para quaisquer vetores e em . Isso está relacionado ao conteúdo de transformações lineares e produtos internos na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como calcular esses produtos usando a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que u1 u2 representa o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores v1 v2 e lang<= u, v rang<= = u1 v1 + u2 v2 . Para dois vetores em , se e , então:

Passo 3

Agora, queremos verificar se B = 1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 . Isso significa que, ao aplicar a matriz B u = 1raiz2 u1 + 1raiz2 u2 1raiz2 u1 - 1raiz2 u2 = 1raiz2 u1 + u2 u1 - u2 nos vetores B v = 1raiz2 v1 + v2 v1 - v2 e , o produto interno entre os vetores transformados deve ser igual ao produto interno original.
Primeiro, vamos calcular e .
A matriz é:
Aplicando em :
De forma similar, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= B u, B v rang<= = ( 1raiz2 (u1 + u2) ) ( 1raiz2 (v1 + v2) ) + ( 1raiz2 (u1 - u2) ) ( 1raiz2 (v1 - v2) ) :
= 12 (u1 + u2)(v1 + v2) + 12 (u1 - u2)(v1 - v2)
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Vamos expandir os produtos:
= 12 (u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u2 v2) + 12 (u1 v1 - u1 v2 - u2 v1 + u2 v2)
Agora, somando as duas expressões:
= 12 ( 2 u1 v1 + 2 u2 v2 ) = u1 v1 + u2 v2

Passo 6

Observamos que . Portanto, a igualdade é satisfeita para quaisquer vetores e em .

Resposta

A igualdade é verdadeira para quaisquer .

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