Determinar m e n para que os seguintes operadores no R^3 sejam simétricos:
a) f: R^3 R^3, f(x, y, z)=(3 x-2 y, m x+y-3 z, n y+z)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisa encontrar os valores de e para que um operador linear no espaço tridimensional seja simétrico. Basicamente, a gente vai trabalhar com matrizes e propriedades de operadores lineares simétricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear f(x, y, z) = (3x - 2y,, m x + y - 3z,, n y + z) pode ser representado por uma matriz A = 3 & -2 & 0 m & 1 & -3 0 & n & 1 . No nosso caso, o operador é dado por:
Então, a matriz que representa esse operador é:

Passo 3

Agora, para que o operador A^T = 3 & m & 0 -2 & 1 & n 0 & -3 & 1 seja simétrico, a matriz precisa ser simétrica. Isso significa que ela deve ser igual à sua transposta . A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, vamos calcular :
Para que seja simétrica, cada elemento deve ser igual a .

Passo 4

Vamos igualar os elementos correspondentes de e :
  1. :
  2. : (já é igual, não precisamos ajustar)
  3. :

Resposta

Portanto, para que o operador m = -2 e n = -3 seja simétrico, os valores devem ser:

Exercícios relacionados