Determinar e para que os seguintes operadores no sejam simétricos:
a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisa encontrar os valores de e para que um operador linear no espaço tridimensional seja simétrico. Basicamente, a gente vai trabalhar com matrizes e propriedades de operadores lineares simétricos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz . No nosso caso, o operador é dado por:
Então, a matriz que representa esse operador é:
Passo 3
Agora, para que o operador A^T = 3 & m & 0 -2 & 1 & n 0 & -3 & 1 seja simétrico, a matriz precisa ser simétrica. Isso significa que ela deve ser igual à sua transposta . A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, vamos calcular :
Para que seja simétrica, cada elemento deve ser igual a .
Passo 4
Vamos igualar os elementos correspondentes de e :
:
: (já é igual, não precisamos ajustar)
:
Resposta
Portanto, para que o operador m = -2 e n = -3 seja simétrico, os valores devem ser: