Escreva uma equação do plano tangente à esfera
passando pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação do plano tangente à esfera
que passa pelo ponto
.
Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com esferas e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma esfera e garantir que esse plano passe pelo ponto dado
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma esfera centrada na origem:
No nosso caso,
, então o raio
.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação de um plano tangente a essa esfera, precisamos saber que o plano tangente a uma esfera sempre toca a esfera em exatamente um ponto. A equação geral de um plano é:
Aqui,
são os coeficientes que definem a orientação do plano, e
é a distância do plano à origem.
Passo 4
Sabemos que, para o plano ser tangente à esfera, a distância entre a origem (centro da esfera) e o plano deve ser igual ao raio da esfera. A fórmula da distância de um ponto
a um plano
é:
Como o centro da esfera é
e a distância deve ser igual a 3, temos:
Para simplificar, vamos assumir que
(ou seja, o vetor normal é unitário). Assim,
, ou seja,
ou
.
Passo 5
Além disso, o plano deve passar pelo ponto
. Substituindo as coordenadas de
na equação do plano:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos duas possibilidades para
:
Vamos resolver para cada caso.
Caso 1:
Caso 2:
Passo 7
Além disso, lembrando que
, temos um sistema de equações para cada caso.
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolver esse sistema pode ser complicado, mas uma abordagem é encontrar valores para
que satisfaçam ambas as equações. Para simplificar, podemos escolher valores para
e
e resolver para
.
Por exemplo, vamos assumir
e
no Caso 1:
Agora, verificamos a segunda equação:
Não funciona. Então, precisamos ajustar nossos valores.
Passo 9
Em vez de assumir valores, vamos resolver o sistema de forma geral. Do Caso 1:
Substituímos na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática em
e
que pode ser resolvida para encontrar os valores possíveis.
Passo 10
Após resolver o sistema, encontramos os valores de
que satisfazem as condições. Vamos considerar uma solução possível:
Suponha que
, então do
.
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como o discriminante é negativo, não há solução real nesse caso.
Passo 11
Isso indica que com
, não há soluções reais para
. Vamos tentar o Caso 2 onde
.
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Novamente, uma equação quadrática que precisamos resolver.
Passo 12
Vamos tentar novamente com
:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Mais uma vez, o discriminante é negativo, sem soluções reais.
Passo 13
Isso significa que não há planos reais tangentes à esfera
que passem pelo ponto
. O ponto
está dentro da esfera, e somente pontos externos podem ter planos tangentes passando por eles.
Resposta
Não existe um plano tangente real à esfera
que passe pelo ponto
, já que
está localizado dentro da esfera.