Escreva uma equação do plano tangente à esfera x^2+y^2+z^2=9 passando pelo ponto P(1,2,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação do plano tangente à esfera que passa pelo ponto .
Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com esferas e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma esfera e garantir que esse plano passe pelo ponto dado .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma esfera centrada na origem:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
No nosso caso, , então o raio .

Passo 3

Agora, para encontrar a equação de um plano tangente a essa esfera, precisamos saber que o plano tangente a uma esfera sempre toca a esfera em exatamente um ponto. A equação geral de um plano é:
ax + by + cz = d
Aqui, são os coeficientes que definem a orientação do plano, e é a distância do plano à origem.

Passo 4

Sabemos que, para o plano ser tangente à esfera, a distância entre a origem (centro da esfera) e o plano deve ser igual ao raio da esfera. A fórmula da distância de um ponto Distância = |ax0 + by0 + cz0 - d|raiza^2 + b^2 + c^2 a um plano |d|raiza^2 + b^2 + c^2 = 3 é:
â
Como o centro da esfera é e a distância deve ser igual a 3, temos:
Para simplificar, vamos assumir que (ou seja, o vetor normal é unitário). Assim, , ou seja, ou .

Passo 5

Além disso, o plano deve passar pelo ponto a(1) + b(2) + c(-1) = d . Substituindo as coordenadas de a + 2b - c = d na equação do plano:
Simplificando:

Passo 6

Agora temos duas possibilidades para a + 2b - c = 3 :
  1. a + 2b - c = -3
Vamos resolver para cada caso.
Caso 1:
Caso 2:

Passo 7

Além disso, lembrando que a + 2b - c = 3 a^2 + b^2 + c^2 = 1 , temos um sistema de equações para cada caso.
Para a + 2b - c = -3 a^2 + b^2 + c^2 = 1 :
Para :

Passo 8

Resolver esse sistema pode ser complicado, mas uma abordagem é encontrar valores para 1 + 2(1) - c = 3 Rightarrow 3 - c = 3 Rightarrow c = 0 que satisfaçam ambas as equações. Para simplificar, podemos escolher valores para 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 neq 1 e e resolver para .
Por exemplo, vamos assumir e no Caso 1:
Agora, verificamos a segunda equação:
Não funciona. Então, precisamos ajustar nossos valores.

Passo 9

Em vez de assumir valores, vamos resolver o sistema de forma geral. Do Caso 1:
a + 2b - c = 3 Rightarrow c = a + 2b - 3
Substituímos na segunda equação:
a^2 + b^2 + (a + 2b - 3)^2 = 1
Expandindo:
a^2 + b^2 + a^2 + 4b^2 + 9 + 4ab - 6a - 12b = 1
Simplificando:
2a^2 + 5b^2 + 4ab - 6a - 12b + 9 = 1
2a^2 + 5b^2 + 4ab - 6a - 12b + 8 = 0
Essa é uma equação quadrática em e que pode ser resolvida para encontrar os valores possíveis.

Passo 10

Após resolver o sistema, encontramos os valores de 0^2 + b^2 + (2b - 3)^2 = 1 Rightarrow b^2 + 4b^2 - 12b + 9 = 1 Rightarrow 5b^2 - 12b + 8 = 0 que satisfazem as condições. Vamos considerar uma solução possível:
Suponha que b = 12 pm raiz144 - 16010 = 12 pm raiz-1610 , então do .
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como o discriminante é negativo, não há solução real nesse caso.

Passo 11

Isso indica que com a + 2b - c = -3 Rightarrow c = a + 2b + 3 , não há soluções reais para a^2 + b^2 + (a + 2b + 3)^2 = 1 . Vamos tentar o Caso 2 onde a^2 + b^2 + a^2 + 4b^2 + 9 + 4ab + 6a + 12b = 1 .
2a^2 + 5b^2 + 4ab + 6a + 12b + 9 = 1
Substituindo na segunda equação:
2a^2 + 5b^2 + 4ab + 6a + 12b + 8 = 0
Expandindo:
Simplificando:
Novamente, uma equação quadrática que precisamos resolver.

Passo 12

Vamos tentar novamente com c = 0 + 2b + 3 Rightarrow c = 2b + 3 :
0^2 + b^2 + (2b + 3)^2 = 1 Rightarrow b^2 + 4b^2 + 12b + 9 = 1 Rightarrow 5b^2 + 12b + 8 = 0
Substituindo na segunda equação:
b = -12 pm raiz144 - 16010 = -12 pm raiz-1610
Resolvendo a equação quadrática:
Mais uma vez, o discriminante é negativo, sem soluções reais.

Passo 13

Isso significa que não há planos reais tangentes à esfera que passem pelo ponto . O ponto está dentro da esfera, e somente pontos externos podem ter planos tangentes passando por eles.

Resposta

Não existe um plano tangente real à esfera que passe pelo ponto , já que está localizado dentro da esfera.

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