Questão 7. Seja T: V V um operador linear com posto m. Mostre que T tem no máximo m+1 autovalores distintos.

Passo 1

Então, a gente tem um operador linear com posto . O que a questão pede é para mostrar que esse operador não pode ter mais do que autovalores diferentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial, operadores lineares, posto e teorema do espectro. Vamos precisar entender como os autovalores se relacionam com o posto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o posto de , que é , representa a dimensão da imagem de , ou seja, . Isso significa que, quando aplicamos a todos os vetores de , o espaço gerado tem dimensão .

Passo 3

Agora, vamos pensar nos autovalores de . Um autovalor satisfaz a equação para algum vetor não nulo em . Isso significa que está na direção de um vetor próprio de .

Passo 4

Vamos considerar o polinômio característico de , que é dado por . As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores de . Como é um operador linear em um espaço de dimens��o finita, é um polinômio de grau igual à dimensão de .

Passo 5

No entanto, a gente quer relacionar o número de autovalores com o posto . Para isso, podemos usar o fato de que a soma das dimensões dos autospaces (espaços próprios) não pode exceder a dimensão total de . Se tivesse mais de autovalores distintos, a soma das dimensões dos respectivos autospaces seria maior que , o que é impossível.

Passo 6

Portanto, combinando essas ideias, concluímos que não pode ter mais do que autovalores distintos, já que isso violaria a relação entre o posto de e a dimensão dos autospaces.

Resposta

O operador linear tem no máximo autovalores distintos.

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