Questão 7. Seja
um operador linear com posto
. Mostre que
tem no máximo
autovalores distintos.
Passo 1
Então, a gente tem um operador linear
com posto
. O que a questão pede é para mostrar que esse operador não pode ter mais do que
autovalores diferentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço vetorial, operadores lineares, posto e teorema do espectro. Vamos precisar entender como os autovalores se relacionam com o posto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o posto de
, que é
, representa a dimensão da imagem de
, ou seja,
. Isso significa que, quando aplicamos
a todos os vetores de
, o espaço gerado tem dimensão
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos autovalores de
. Um autovalor
satisfaz a equação
para algum vetor não nulo
em
. Isso significa que
está na direção de um vetor próprio de
.
Passo 4
Vamos considerar o polinômio característico de
, que é dado por
. As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores de
. Como
é um operador linear em um espaço de dimens��o finita,
é um polinômio de grau igual à dimensão de
.
Passo 5
No entanto, a gente quer relacionar o número de autovalores com o posto
. Para isso, podemos usar o fato de que a soma das dimensões dos autospaces (espaços próprios) não pode exceder a dimensão total de
. Se
tivesse mais de
autovalores distintos, a soma das dimensões dos respectivos autospaces seria maior que
, o que é impossível.
Passo 6
Portanto, combinando essas ideias, concluímos que
não pode ter mais do que
autovalores distintos, já que isso violaria a relação entre o posto de
e a dimensão dos autospaces.
Resposta
O operador linear
tem no máximo
autovalores distintos.