Determine equações paramétricas da interseção dos planos 2 x-y-3 z=1 e x-y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para achar as equações paramétricas da interseção dos planos e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de planos e suas intersecções. Para resolver, vamos precisar entender como resolver um sistema de equações lineares e como expressar a solução em forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos que estão em ambos os planos ao mesmo tempo. Isso significa que vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
2x - y - 3z = 1 x - y + z = 0
Vamos resolver esse sistema para achar as relações entre , e .

Passo 3

Vamos usar o método da substituição. Da segunda equação, podemos isolar uma variável. Por exemplo, vamos resolver para x - y + z = 0 Rightarrow x = y - z :
Agora, temos em função de e . Vamos substituir essa expressão na primeira equação para reduzir o sistema.

Passo 4

Substituindo 2(y - z) - y - 3z = 1 na primeira equação:
2y - 2z - y - 3z = 1 (y) - 5z = 1
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, temos uma relação entre e : .

Passo 5

Agora que expressamos z = t y = 5t + 1 x = y - z = (5t + 1) - t = 4t + 1 em função de , e em função de e , podemos usar um parâmetro para representar . Vamos chamar de (um parâmetro real). Assim:
Agora temos , e todas em função de .

Passo 6

As equações paramétricas da interseção dos planos são então:
x = 4t + 1 y = 5t + 1 z = t
Onde é um número real que varia ao longo da linha de interseção.

Resposta

As equações paramétricas da interseção dos planos são:
x = 4t + 1 y = 5t + 1 z = t
onde é um parâmetro real.

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