Determinar o valor de
para que seja de
o ângulo entre as retas:
e
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre duas retas seja de
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre o ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver, vamos precisar dos vetores diretores das retas e da fórmula do cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas:
- Para a reta
: - Para a reta
:
Esses vetores indicam as direções em que as retas estão seguindo no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (ou módulos) dos vetores. -
é o ângulo entre as retas, que no caso é .
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Produto Escalar (
):
- Norma dos Vetores:
- Aplicando na Fórmula:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação passo a passo:
- Simplificando a Equação:
Multiplicamos ambos os lados por
:
- Simplificando
:
Substituindo na equação:
- Isolando os Termos:
Dividimos ambos os lados por 5:
Multiplicamos ambos os lados por 2:
- Elevando ao Quadrado para Eliminar a Raiz:
- Resolvendo a Equação Quadrática:
Expandimos e reorganizamos:
Dividimos por 2 para simplificar:
- Encontrando as Soluções:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.