Determinar o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas: r1:(x, y, z)=(2,0,0)+t(4,5,3), t in R e r2:(x, y, z)=(0,5,-2)+t(1, n, 2), t in R.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de de forma que o ângulo entre duas retas seja de . Isso envolve conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre o ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver, vamos precisar dos vetores diretores das retas e da fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas:
  • Para a reta :
  • Para a reta :
Esses vetores indicam as direções em que as retas estão seguindo no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
cos(theta) = a cdot b|a| cdot |b|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou módulos) dos vetores.
  • é o ângulo entre as retas, que no caso é .

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Produto Escalar ( a cdot b = 4 times 1 + 5 times n + 3 times 2 = 4 + 5n + 6 = 10 + 5n ):
|a| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50
  1. Norma dos Vetores:
|b| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5
10 + 5nraiz50 cdot raizn^2 + 5 = raiz32
  1. Aplicando na Fórmula:
Sabendo que e , temos:

Passo 5

Vamos resolver a equação passo a passo:
  1. Simplificando a Equação:
Multiplicamos ambos os lados por 10 + 5n = raiz32 cdot raiz50 cdot raizn^2 + 5 :
raiz50 = 5raiz2
  1. Simplificando 10 + 5n = raiz32 cdot 5raiz2 cdot raizn^2 + 5 :
10 + 5n = 5raiz62 cdot raizn^2 + 5
Substituindo na equação:
2 + n = raiz62 cdot raizn^2 + 5
4 + 2n = raiz6 cdot raizn^2 + 5
  1. Isolando os Termos:
Dividimos ambos os lados por 5:
(4 + 2n)^2 = (raiz6)^2 cdot (n^2 + 5)
Multiplicamos ambos os lados por 2:
16 + 16n + 4n^2 = 6(n^2 + 5)
  1. Elevando ao Quadrado para Eliminar a Raiz:
16 + 16n + 4n^2 = 6n^2 + 30
0 = 2n^2 - 16n + 14
  1. Resolvendo a Equação Quadrática:
Expandimos e reorganizamos:
0 = n^2 - 8n + 7
n = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
Dividimos por 2 para simplificar:
n = 8 + 62 = 7
  1. Encontrando as Soluções:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
n = 8 - 62 = 1
Portanto, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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