Resolver as seguintes equações:
2 sen^2(x) + 6 cos(x) = 5 + cos(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação trigonométrica: . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a equação e encontrar os valores de que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a identidade para pode ser escrita de várias formas. Uma delas é:
Vamos substituir na equação original por essa identidade.

Passo 3

Substituindo na equação:
Agora, vamos simplificar a equação.

Passo 4

Distribuindo e agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos somar em ambos os lados para eliminar o termo negativo.

Passo 5

Somando em ambos os lados:
Vamos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos usar outra identidade trigonométrica que relaciona e :
Substituindo isso na equação:

Passo 7

Distribuindo o 2:
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:

Passo 8

Multiplicando a equação por -1 para facilitar:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de . Vamos resolver essa equação.

Passo 9

Vamos chamar . Assim, a equação fica:
Usando a fórmula quadrática:
Então, temos:

Passo 10

Voltando para :
Vamos encontrar os valores de que satisfazem essas igualdades no intervalo .

Passo 11

Para :
Para :

Resposta

As soluções da equação são:

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