Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: A aplicação T(x, y, z)=(y, x+y, z-y) é uma transformação linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se a aplicação é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear: basicamente, uma função que preserva a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, se somarmos dois vetores e aplicarmos , o resultado deve ser o mesmo que aplicar em cada vetor primeiro e depois somar. Além disso, se multiplicarmos um vetor por um número e depois aplicarmos , deve ser o mesmo que aplicar primeiro e depois multiplicar o resultado pelo mesmo número. Vamos verificar isso passo a passo.

Passo 2

Vamos verificar a primeira propriedade da transformação linear: se u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) para quaisquer vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (y1 + y2, (x1 + x2) + (y1 + y2), (z1 + z2) - (y1 + y2)) e = (y1 + y2, x1 + x2 + y1 + y2, z1 + z2 - y1 - y2) .
Sejam T(u) = (y1, x1 + y1, z1 - y1) e T(v) = (y2, x2 + y2, z2 - y2) .
Primeiro, calculemos T(u) + T(v) = (y1 + y2, (x1 + y1) + (x2 + y2), (z1 - y1) + (z2 - y2)) :
= (y1 + y2, x1 + x2 + y1 + y2, z1 + z2 - y1 - y2)
Agora, aplicamos T(u + v) = T(u) + T(v) em :
Agora, vamos calcular :
Comparando com , vemos que são iguais:

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: se cu = (c x, c y, c z) para qualquer vetor T(cu) = T(c x, c y, c z) = (c y, c x + c y, c z - c y) e qualquer escalar = c (y, x + y, z - y) .
Seja T(u) = (y, x + y, z - y) e cT(u) = c (y, x + y, z - y) = (c y, c x + c y, c z - c y) um número real.
Primeiro, calculamos T(cu) = cT(u) :
Aplicamos em :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que:

Resposta

Sim, a aplicação é uma transformação linear.

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