Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: A aplicação
é uma transformação linear.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se a aplicação
é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear: basicamente, uma função que preserva a adição e a multiplicação por escalar. Ou seja, se somarmos dois vetores e aplicarmos
, o resultado deve ser o mesmo que aplicar
em cada vetor primeiro e depois somar. Além disso, se multiplicarmos um vetor por um número e depois aplicarmos
, deve ser o mesmo que aplicar
primeiro e depois multiplicar o resultado pelo mesmo número. Vamos verificar isso passo a passo.
Passo 2
Vamos verificar a primeira propriedade da transformação linear: se
para quaisquer vetores
e
.
Sejam
e
.
Primeiro, calculemos
:
Agora, aplicamos
em
:
Agora, vamos calcular
:
Comparando
com
, vemos que são iguais:
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: se
para qualquer vetor
e qualquer escalar
.
Seja
e
um número real.
Primeiro, calculamos
:
Aplicamos
em
:
Agora, calculamos
:
Novamente, vemos que:
Resposta
Sim, a aplicação
é uma transformação linear.