Mostre munido da operação
é um grupo.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de álgebra abstrata onde precisamos mostrar que o conjunto , com a operação definida por
forma um grupo. Isso tudo está relacionado com a teoria dos grupos, que são estruturas matemáticas fundamentais na álgebra. Para provar que algo é um grupo, precisamos verificar quatro propriedades principais: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos passar por cada uma delas passo a passo!

Passo 2

Fechamento
Primeiro, precisamos garantir que a operação que definimos mantenha o conjunto dentro de si mesmo. Ou seja, se pegarmos dois elementos qualquer de e aplicarmos a operação, o resultado ainda deve estar em .
Então, sejam e elementos de . A operação nos dá:
Agora, é o conjunto dos números racionais diferentes de zero. Como e são em , então também é diferente de zero (pois o produto de dois números não nulos é não nulo). Já e são em , então também está em . Portanto, o resultado está em .
Então, a operação é fechada no conjunto.

Passo 3

Associatividade
Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Isso significa que, para quaisquer três elementos , e em , a seguinte igualdade deve valer:
Vamos calcular os dois lados separadamente.
Primeiro, o lado esquerdo:
Simplificando:
Agora, o lado direito:
Simplificando:
Os dois lados são iguais, então a operação é associativa.

Passo 4

Elemento Neutro
Precisamos encontrar um elemento no conjunto que, quando operado com qualquer outro elemento, não o altera. Vamos chamar esse elemento de e resolver:
Isso nos dá duas equações:
Da primeira equação, para todo , temos que .
Substituindo na segunda equação:
Portanto, o elemento neutro é .

Passo 5

Elementos Inversos
Por último, cada elemento do conjunto deve ter um inverso tal que:
Aplicando a operação:
Isso nos dá:
  1. (o que já está garantido, já que é o inverso multiplicativo de )
Portanto, o inverso de é .

Resposta

Concluímos que o conjunto , com a operação definida por , satisfaz todas as propriedades de um grupo. Logo, é um grupo.

Exercícios relacionados

Verifique quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação a operação indicada.((d) onde .
Determinar uma matriz de maneira que seja diagonal, no seguinte caso:
c) .
Seja , o) grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição e . Resolva a equação abaixo
onde e
Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo .
í