Mostre Q^* times Q munido da operação
(p, q) cdot(r, s):=(p r, q r+s)
é um grupo.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de álgebra abstrata onde precisamos mostrar que o conjunto Q^* times Q, com a operação definida por
(p, q) cdot (r, s) := (p cdot r, , q cdot r + s),
forma um grupo. Isso tudo está relacionado com a teoria dos grupos, que são estruturas matemáticas fundamentais na álgebra. Para provar que algo é um grupo, precisamos verificar quatro propriedades principais: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos passar por cada uma delas passo a passo!

Passo 2

Fechamento
Primeiro, precisamos garantir que a operação que definimos mantenha o conjunto dentro de si mesmo. Ou seja, se pegarmos dois elementos qualquer de Q^* times Q e aplicarmos a operação, o resultado ainda deve estar em Q^* times Q.
Então, sejam (p, q) e (r, s) elementos de Q^* times Q. A operação nos dá:
(p, q) cdot (r, s) = (p cdot r, , q cdot r + s)
Agora, Q^* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero. Como p e r são em Q^*, então p cdot r também é diferente de zero (pois o produto de dois números não nulos é não nulo). Já q e s são em Q, então q cdot r + s também está em Q. Portanto, o resultado (p cdot r, , q cdot r + s) está em Q^* times Q.
Então, a operação é fechada no conjunto.

Passo 3

Associatividade
Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Isso significa que, para quaisquer três elementos (p, q), (r, s) e (t, u) em Q^* times Q, a seguinte igualdade deve valer:
[(p, q) cdot (r, s)] cdot (t, u) = (p, q) cdot [(r, s) cdot (t, u)]
Vamos calcular os dois lados separadamente.
Primeiro, o lado esquerdo:
[(p, q) cdot (r, s)] cdot (t, u) = (p cdot r, , q cdot r + s) cdot (t, u) = ((p cdot r) cdot t, , (q cdot r + s) cdot t + u)
Simplificando:
= (p cdot r cdot t, , q cdot r cdot t + s cdot t + u)
Agora, o lado direito:
(p, q) cdot [(r, s) cdot (t, u)] = (p, q) cdot (r cdot t, , s cdot t + u) = (p cdot (r cdot t), , q cdot (r cdot t) + (s cdot t + u))
Simplificando:
= (p cdot r cdot t, , q cdot r cdot t + s cdot t + u)
Os dois lados são iguais, então a operação é associativa.

Passo 4

Elemento Neutro
Precisamos encontrar um elemento no conjunto Q^* times Q que, quando operado com qualquer outro elemento, não o altera. Vamos chamar esse elemento de (e1, e2) e resolver:
(p, q) cdot (e1, e2) = (p cdot e1, , q cdot e1 + e2) = (p, q)
Isso nos dá duas equações:
  1. p cdot e1 = p
  2. q cdot e1 + e2 = q
Da primeira equação, para todo p in Q^*, temos que e1 = 1.
Substituindo e1 = 1 na segunda equação:
q cdot 1 + e2 = q implies q + e2 = q implies e2 = 0
Portanto, o elemento neutro é (1, 0).

Passo 5

Elementos Inversos
Por último, cada elemento (p, q) do conjunto deve ter um inverso (p^-1, q') tal que:
(p, q) cdot (p^-1, q') = (1, 0)
Aplicando a operação:
(p cdot p^-1, , q cdot p^-1 + q') = (1, 0)
Isso nos dá:
  1. p cdot p^-1 = 1 (o que já está garantido, já que p^-1 é o inverso multiplicativo de p)
  2. q cdot p^-1 + q' = 0 implies q' = - q cdot p^-1
Portanto, o inverso de (p, q) é (p^-1, -q cdot p^-1).

Resposta

Concluímos que o conjunto Q^* times Q, com a operação definida por (p, q) cdot (r, s) := (p cdot r, , q cdot r + s), satisfaz todas as propriedades de um grupo. Logo, Q^* times Q é um grupo.

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