Mostre
munido da operação
é um grupo.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de álgebra abstrata onde precisamos mostrar que o conjunto
, com a operação definida por
forma um grupo. Isso tudo está relacionado com a teoria dos grupos, que são estruturas matemáticas fundamentais na álgebra. Para provar que algo é um grupo, precisamos verificar quatro propriedades principais: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Vamos passar por cada uma delas passo a passo!
Passo 2
Fechamento
Primeiro, precisamos garantir que a operação que definimos mantenha o conjunto dentro de si mesmo. Ou seja, se pegarmos dois elementos qualquer de
e aplicarmos a operação, o resultado ainda deve estar em
.
Então, sejam
e
elementos de
. A operação nos dá:
Agora,
é o conjunto dos números racionais diferentes de zero. Como
e
são em
, então
também é diferente de zero (pois o produto de dois números não nulos é não nulo). Já
e
são em
, então
também está em
. Portanto, o resultado
está em
.
Então, a operação é fechada no conjunto.
Passo 3
Associatividade
Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Isso significa que, para quaisquer três elementos
,
e
em
, a seguinte igualdade deve valer:
Vamos calcular os dois lados separadamente.
Primeiro, o lado esquerdo:
Simplificando:
Agora, o lado direito:
Simplificando:
Os dois lados são iguais, então a operação é associativa.
Passo 4
Elemento Neutro
Precisamos encontrar um elemento no conjunto
que, quando operado com qualquer outro elemento, não o altera. Vamos chamar esse elemento de
e resolver:
Isso nos dá duas equações:
Da primeira equação, para todo
, temos que
.
Substituindo
na segunda equação:
Portanto, o elemento neutro é
.
Passo 5
Elementos Inversos
Por último, cada elemento
do conjunto deve ter um inverso
tal que:
Aplicando a operação:
Isso nos dá:
-
(o que já está garantido, já que é o inverso multiplicativo de ) -
Portanto, o inverso de
é
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
, com a operação definida por
, satisfaz todas as propriedades de um grupo. Logo,
é um grupo.
Exercícios relacionados
Verifique quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação a operação indicada.((d)
onde
.
Determinar uma matriz
de maneira que
seja diagonal, no seguinte caso:
c) .
c)
Seja
, o) grupo das permutações de ordem 4 com a operação de composição e
. Resolva a equação abaixo
onde
e
Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
.