(3) Determinar uma matriz P que dtagonallza ortogonalmente. Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz que diagonalize a matriz de forma ortogonal. Isso significa que deve ser uma matriz ortogonal (ou seja, ) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de diagonalização e matrizes ortogonais, usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e são os autovalores.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante:
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Simplificando:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso nos dá . Podemos escolher , então . E é livre, mas como a primeira linha não impõe restrições, podemos escolher . Então, um autovetor é:

Para :
Resolvemos :
[


]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:

Para :
Resolvemos :
[


]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:

Passo 4

Agora, precisamos ortogonalizar esses autovetores e normalizá-los para formar a matriz .
Primeiro, observamos que e já são ortogonais:
E é ortogonal a ambos, já que o produto interno com e é zero.
Agora, normalizamos cada autovetor:
Normalizando :
Normalizando :
Normalizando :
Agora, a matriz com esses vetores como colunas é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular . Como é uma matriz ortogonal, . Então:
Como consiste nos autovetores ortonormais de , essa operação vai transformar em uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A matriz que diagonaliza ortogonalmente é:
E o produto resulta na matriz diagonal:

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