(3) Determinar uma matriz P que dtagonallza ortogonalmente. Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz que diagonalize a matriz de forma ortogonal. Isso significa que deve ser uma matriz ortogonal (ou seja, ) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de diagonalização e matrizes ortogonais, usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e são os autovalores.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante:
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Simplificando:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá . Podemos escolher , então . E é livre, mas como a primeira linha não impõe restrições, podemos escolher . Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:
Passo 4
Agora, precisamos ortogonalizar esses autovetores e normalizá-los para formar a matriz .
Primeiro, observamos que e já são ortogonais:
E é ortogonal a ambos, já que o produto interno com e é zero.
Agora, normalizamos cada autovetor:
Normalizando :
Normalizando :
Normalizando :
Agora, a matriz com esses vetores como colunas é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular . Como é uma matriz ortogonal, . Então:
Como consiste nos autovetores ortonormais de , essa operação vai transformar em uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal: