(3) Determinar uma matriz P que dtagonallza ortogonalmente. Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz que diagonalize a matriz de forma ortogonal. Isso significa que deve ser uma matriz ortogonal (ou seja, ) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de diagonalização e matrizes ortogonais, usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Isso nos dá v3 = 0 1 -1 . Podemos escolher , então . E é livre, mas como a primeira linha não impõe restrições, podemos escolher . Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:
Passo 4
Agora, precisamos ortogonalizar esses autovetores e normalizá-los para formar a matriz v2 cdot v3 = (0)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 .
Primeiro, observamos que |v1| = raiz0^2 + (-1)^2 + 8^2 = raiz1 + 64 = raiz65 e u1 = 1raiz65 0 -1 8 já são ortogonais:
|v2| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
E u2 = 1raiz2 0 1 1 é ortogonal a ambos, já que o produto interno com |v3| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz2 e u3 = 1raiz2 0 1 -1 é zero.