(3) Determinar uma matriz P que dtagonallza A ortogonalmente. Calcule P^-1 AP.
A=|ccc -2 & 0 & 0 0 & 6 & 1 0 & 1 & 6 |

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz que diagonalize a matriz de forma ortogonal. Isso significa que deve ser uma matriz ortogonal (ou seja, ) e tal que seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de diagonalização e matrizes ortogonais, usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
A = -2 & 0 & 0 0 & 6 & 1 0 & 1 & 6
onde det(A - lambda I) = det( -2 - lambda & 0 & 0 0 & 6 - lambda & 1 0 & 1 & 6 - lambda ) é a matriz identidade e (-2 - lambda) cdot det( 6 - lambda & 1 1 & 6 - lambda ) = (-2 - lambda) cdot ( (6 - lambda)^2 - 1 ) são os autovalores.
A matriz (-2 - lambda) cdot ( lambda^2 - 12lambda + 35 ) = 0 é:
lambda1 = -2, lambda2 = 7, lambda3 = 5
Vamos calcular o determinante:
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Simplificando:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para 0 & 0 & 0 0 & 8 & 1 0 & 1 & 8 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 = 0 -1 8 :
[
-9 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0
v2 = 0 1 1

3 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
]
Isso nos dá v3 = 0 1 -1 . Podemos escolher , então . E é livre, mas como a primeira linha não impõe restrições, podemos escolher . Então, um autovetor é:

Para :
Resolvemos :
[


]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:

Para :
Resolvemos :
[


]
Da primeira equação, . Das outras equações, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Então, um autovetor é:

Passo 4

Agora, precisamos ortogonalizar esses autovetores e normalizá-los para formar a matriz v2 cdot v3 = (0)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 .
Primeiro, observamos que |v1| = raiz0^2 + (-1)^2 + 8^2 = raiz1 + 64 = raiz65 e u1 = 1raiz65 0 -1 8 já são ortogonais:
|v2| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
E u2 = 1raiz2 0 1 1 é ortogonal a ambos, já que o produto interno com |v3| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz2 e u3 = 1raiz2 0 1 -1 é zero.
Agora, normalizamos cada autovetor:
Normalizando P = 0 & 0 & 0 -1raiz65 & 1raiz2 & 1raiz2 8raiz65 & 1raiz2 & -1raiz2 :
Normalizando :
Normalizando :
Agora, a matriz com esses vetores como colunas é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular P^-1AP = P^TAP . Como P^-1AP = -2 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 7 é uma matriz ortogonal, . Então:
Como consiste nos autovetores ortonormais de , essa operação vai transformar em uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A matriz P = 0 & 0 & 0 -1raiz65 & 1raiz2 & 1raiz2 8raiz65 & 1raiz2 & -1raiz2 que diagonaliza P^-1AP = -2 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 7 ortogonalmente é:
E o produto resulta na matriz diagonal:

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