Determine lambda in R tal que o sistema cx+lambda y=3 lambda x+9 y=9 seja Compatível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações lineares com duas variáveis, e , e queremos encontrar os valores de que fazem esse sistema ser compatível (ou seja, ter pelo menos uma solução) e determinado (ter exatamente uma solução). Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x + lambda y = 3 lambda x + 9 y = 9
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas: e . Nosso objetivo é encontrar que garantam que esse sistema tenha uma única solução.

Passo 3

Para sistemas de duas equações com duas incógnitas, a gente pode usar a regra de Cramer ou verificar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
Vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 1 & lambda lambda & 9

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é dado por:
det(A) = ad - bc
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = (1)(9) - (lambda)(lambda) = 9 - lambda^2

Passo 5

Para que o sistema seja compatível e determinado, precisamos que o determinante seja diferente de zero:
9 - lambda^2 neq 0
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de 9 - lambda^2 neq 0 Rightarrow lambda^2 neq 9 Rightarrow lambda neq pm 3 :

Resposta

Os valores de que tornam o sistema compatível e determinado são todos os números reais exceto e .

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