Sugestão: No passo de indução use que com e e, em seguida, use a fórmula vista em sala para a soma de uma P.A. de razão 1 .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que, para todo número natural , a soma dos números de 1 até ao quadrado é igual à soma dos cubos desses mesmos números. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar afirmações para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para . Isso é chamado de caso base.
Quando :
Ou seja:
Como isso é verdadeiro, o caso base está confirmado.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Esse é o nosso hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Para isso, vamos considerar a soma até e elevar ao quadrado:
Vamos chamar a soma de e de . Então temos:
Passo 5
Substituindo e na expressão, ficamos com:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então substituímos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma forma de expressar . Sabemos que a soma é uma progressão aritmética (P.A.) com razão 1, e sua soma pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo na expressão, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :
Ou seja:
Passo 8
Então, mostramos que:
Isso completa o passo de indução, provando que a afirmação é verdadeira para se for verdadeira para .
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo número natural :