Mostre que para todo natural n vale
(1+2+cdots+n)^2=1^3+2^3+cdots+n^3
  • Sugestão: No passo de indução use que (a+b)^2=a^2+2 a b+b^2 com a=1+2+cdots+n e b=n+1 e, em seguida, use a fórmula vista em sala para a soma de uma P.A. de razão 1 .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para provar que, para todo número natural (1+2+cdots+n)^2=1^3+2^3+cdots+n^3 , a soma dos números de 1 até ao quadrado é igual à soma dos cubos desses mesmos números. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar afirmações para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para (1)^2 = 1^3 . Isso é chamado de caso base.
Quando 1 = 1 :
Ou seja:
Como isso é verdadeiro, o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural (1+2+cdots+n)^2=1^3+2^3+cdots+n^3 . Esse é o nosso hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para (1+2+cdots+n+(n+1))^2 , então ela também é verdadeira para (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 . Para isso, vamos considerar a soma até e elevar ao quadrado:
Vamos chamar a soma de e de . Então temos:

Passo 5

Substituindo (1+2+cdots+n+(n+1))^2 = (1+2+cdots+n)^2 + 2(1+2+cdots+n)(n+1) + (n+1)^2 e 1^3+2^3+cdots+n^3 + 2(1+2+cdots+n)(n+1) + (n+1)^2 na expressão, ficamos com:
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então substituímos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma forma de expressar 1+2+cdots+n = n(n+1)2 . Sabemos que a soma 1^3+2^3+cdots+n^3 + 2(n(n+1)2)(n+1) + (n+1)^2 é uma progressão aritmética (P.A.) com razão 1, e sua soma pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo na expressão, temos:

Passo 7

Simplificando a expressão:
1^3+2^3+cdots+n^3 + n(n+1)^2 + (n+1)^2
Podemos fatorar 1^3+2^3+cdots+n^3 + (n+1)^2(n + 1) :
1^3+2^3+cdots+n^3 + (n+1)^3
Ou seja:

Passo 8

Então, mostramos que:
(1+2+cdots+n+(n+1))^2 = 1^3+2^3+cdots+n^3 + (n+1)^3
Isso completa o passo de indução, provando que a afirmação é verdadeira para se for verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo número natural (1+2+cdots+n)^2=1^3+2^3+cdots+n^3 :

Exercícios relacionados