Determine lambda in R tal que o sistema cx+lambda y=3 lambda x+9 y=9 seja Incompatível.

Passo 1

Então, a gente tem esse sistema de equações aqui:
x + lambda y = 3 lambda x + 9 y = 9
O que a gente precisa descobrir é qual valor de faz com que esse sistema não tenha solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e ver quando as duas equações não conseguem se encontrar no plano, ou seja, quando elas são paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema de duas equações é incompatível (não tem solução) quando as retas representadas pelas equações são paralelas. Isso acontece quando os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas os termos constantes não estão na mesma proporção.
Então, vamos verificar as proporções dos coeficientes de 1lambda = lambda9 e nas duas equações:
  • Na primeira equação, o coeficiente de é 1 e o de é .
  • Na segunda equação, o coeficiente de é e o de é 9.
Para que as retas sejam paralelas, a razão dos coeficientes de deve ser igual à razão dos coeficientes de :

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 1lambda = lambda9 :
9 = lambda^2
Multiplicando ambos os lados por lambda^2 = 9 e por 9 para eliminar os denominadores:
lambda = pm 3
Então:
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 4

Agora, precisamos verificar qual desses valores de x + 3y = 3 3x + 9y = 9 faz com que as equações sejam realmente incompatíveis. Vamos testar 3(x + 3y) = 3 times 3 3x + 9y = 9 e x - 3y = 3 -3x + 9y = 9 .
Para 3x - 9y = 9 :
-3x + 9y = 9
A segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 3:
Isso significa que as duas equações são equivalentes, ou seja, o sistema tem infinitas soluções. Logo, não torna o sistema incompatível.
Para :
Se multiplicarmos a primeira equação por 3:
Comparando com a segunda equação:
Vemos que as duas equações são opostas nos coeficientes, mas os termos constantes são iguais, o que é impossível. Isso significa que não existe nenhum e que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo. Portanto, o sistema é incompatível para .

Resposta

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