Determine tal que o sistema seja Compatível e indeterminado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações com duas incógnitas, x e y, e um parâmetro λ. Nosso objetivo é encontrar o valor de λ que faz com que esse sistema seja compatível e indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os dois lados das equações devem ser proporcionais. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz é:
O determinante dessa matriz é calculado assim:
Para o sistema ser compatível e indeterminado, precisamos que .

Passo 4

Vamos igualar o determinante a zero e resolver para λ:
Isso implica:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de λ:

Resposta

Os valores de que tornam o sistema compatível e indeterminado são e .

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