Determine lambda in R tal que o sistema cx+lambda y=3 lambda x+9 y=9 seja Compatível e indeterminado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações com duas incógnitas, x e y, e um parâmetro λ. Nosso objetivo é encontrar o valor de λ que faz com que esse sistema seja compatível e indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x + lambda y = 3 lambda x + 9 y = 9
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os dois lados das equações devem ser proporcionais. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz é:
1 & lambda lambda & 9
O determinante D = (1)(9) - (lambda)(lambda) = 9 - lambda^2 dessa matriz é calculado assim:
Para o sistema ser compatível e indeterminado, precisamos que .

Passo 4

Vamos igualar o determinante a zero e resolver para λ:
9 - lambda^2 = 0
Isso implica:
lambda^2 = 9

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de λ:
lambda = raiz9 ou lambda = -raiz9
lambda = 3 ou lambda = -3

Resposta

Os valores de que tornam o sistema compatível e indeterminado são e .

Exercícios relacionados