Determinar a medida do ângulo entre as seguintes retas:
(a) r1:lx=-2-lambda y=lambda z=3-2 lambda e r2: x2=y+6=z-1;
(b) r1:ly=-2x+3 z=x-2 e r2:lx=4 y=-z-1;
© r1:lx=1+raiz2 lambda y=lambda z=5-3 lambda e r2:lx=3 y=2;
(d) r1: x-42=-y=2-12 e r2:lx=1 y4=x-23.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a medida do ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas usando seus vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas x = -2 - lambda y = lambda z = 3 - 2lambda e .
A reta está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, o vetor diretor da reta é . Isso porque os coeficientes de nas equações de , e correspondem aos componentes do vetor diretor.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta x2 = y + 6 = z - 1 . A reta x = 2t, y = t - 6, z = t + 1 está dada na forma simétrica:
Podemos reescrever essas equações paramétricas como:
Dessa forma, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo u cdot v = |u| cdot |v| cdot costheta entre as duas retas, utilizamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
theta = arccos( u cdot v|u| cdot |v| )
Rearranjando para isolar :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (-1)(2) + (1)(1) + (-2)(1) = -2 + 1 - 2 = -3 :

Passo 6

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores |u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 e |v| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do ângulo:
theta = arccos( -3raiz6 cdot raiz6 ) = arccos( -36 ) = arccos( -0,5 )

Passo 8

Calculando o arco cosseno de theta = 120^circ :

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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