Determinar a medida do ângulo entre as seguintes retas:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a medida do ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas usando seus vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas e .
A reta está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, o vetor diretor da reta é . Isso porque os coeficientes de nas equações de , e correspondem aos componentes do vetor diretor.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta . A reta está dada na forma simétrica:
Podemos reescrever essas equações paramétricas como:
Dessa forma, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, utilizamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
Rearranjando para isolar :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores e :

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do ângulo:

Passo 8

Calculando o arco cosseno de :

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

Exercícios relacionados

Resolva o sistema
Para o seguinte sistema linear:

Determine, se existe, o valor de em função de de modo que o sistema:
tenha solulçao única (trivial)
(2,5 pontos) Prove, por indução, que para todo número natural, a seguinte desigualdade é verdadeira:
Prove que toda matriz anti-simétrica não-nula tem posto igual a dois.