Prove que toda matriz anti-simétrica não-nula tem posto igual a dois.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que toda matriz anti-simétrica não-nula tem posto igual a dois. Primeiro, vamos entender o que é uma matriz anti-simétrica e o que significa o posto de uma matriz. Matrizes anti-simétricas satisfazem , onde é a transposta de . O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Vamos precisar usar propriedades de matrizes anti-simétricas e conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma matriz anti-simétrica de ordem ímpar (como ), o determinante é sempre zero. Isso porque, para uma matriz anti-simétrica , temos . Como o determinante também é igual ao produto dos autovalores e para matrizes anti-simétricas de ordem ímpar, pelo menos um autovalor deve ser zero, logo .
Passo 3
Como o determinante de é zero, sabemos que o posto da matriz é menor ou igual a 2. Agora, precisamos mostrar que o posto não é menor que 2. Suponha que o posto fosse 1. Isso significaria que todas as colunas de seriam múltiplos umas das outras, o que implicaria que seria a matriz nula, já que uma matriz anti-simétrica com posto 1 deve ter todos os elementos iguais a zero.
Passo 4
Mas o enunciado diz que a matriz não é nula. Portanto, o posto não pode ser 1. Como já vimos que e , concluímos que o posto deve ser exatamente 2.
Resposta
Assim, provamos que toda matriz anti-simétrica não-nula tem posto igual a dois.