Para o seguinte sistema linear:

Determine, se existe, o valor de em função de de modo que o sistema:
tenha solulçao única (trivial)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um sistema de equações lineares com duas variáveis, e , e quer saber qual o valor de em função de para que esse sistema tenha apenas a solução trivial, ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. As equações são:
Podemos representar isso como uma matriz de coeficientes multiplicada pelo vetor das incógnitas igual a um vetor zero:

[


]

Passo 3

Para que o sistema tenha apenas a solução trivial, a matriz de coeficientes precisa ser invertível. Isso acontece quando o determinante da matriz é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 4

Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir a solução única trivial. Então, temos a condição:
Vamos isolar :

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Como é igual a , tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Mas atenção! A raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, para que seja real, deve ser positivo, ou seja, . Se , não há valores reais de que satisfaçam a condição, o que significa que para , o sistema sempre tem apenas a solução trivial.

Resposta

O valor de em função de para que o sistema tenha apenas a solução trivial é qualquer número real, exceto , desde que . Se , o sistema sempre possui apenas a solução trivial para qualquer valor real de .

Exercícios relacionados

Representar graficamente as retas de equações:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(f) ;
(g) ;
(h) .
Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Resolva o sistema
Determinar a medida do ângulo entre as seguintes retas:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e .