Para o seguinte sistema linear:
lm^2 x-y=0 x+k y=0
Determine, se existe, o valor de m em função de k de modo que o sistema:
tenha solulçao única (trivial)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um sistema de equações lineares com duas variáveis, e , e quer saber qual o valor de em função de para que esse sistema tenha apenas a solução trivial, ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. As equações são:
m^2 x - y = 0 x + k y = 0
Podemos representar isso como uma matriz de coeficientes multiplicada pelo vetor das incógnitas igual a um vetor zero:

[
m^2 & -1 1 & k x y = 0 0


]

Passo 3

Para que o sistema tenha apenas a solução trivial, a matriz de coeficientes precisa ser invertível. Isso acontece quando o determinante da matriz é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Determinante = m^2 cdot k - (-1) cdot 1 = m^2k + 1

Passo 4

Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir a solução única trivial. Então, temos a condição:
m^2k + 1 neq 0
Vamos isolar m^2k neq -1 m^2 neq -1k :

Passo 5

Agora, vamos resolver para m neq pm raiz -1k . Como é igual a , tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Mas atenção! A raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, para que seja real, deve ser positivo, ou seja, . Se , não há valores reais de que satisfaçam a condição, o que significa que para , o sistema sempre tem apenas a solução trivial.

Resposta

O valor de em função de para que o sistema tenha apenas a solução trivial é qualquer número real, exceto , desde que . Se , o sistema sempre possui apenas a solução trivial para qualquer valor real de .

Exercícios relacionados