Para o seguinte sistema linear:
Determine, se existe, o valor de em função de de modo que o sistema:
tenha solulçao única (trivial)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um sistema de equações lineares com duas variáveis, e , e quer saber qual o valor de em função de para que esse sistema tenha apenas a solução trivial, ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. As equações são:
Podemos representar isso como uma matriz de coeficientes multiplicada pelo vetor das incógnitas igual a um vetor zero:
[
]
Passo 3
Para que o sistema tenha apenas a solução trivial, a matriz de coeficientes precisa ser invertível. Isso acontece quando o determinante da matriz é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 4
Queremos que o determinante seja diferente de zero para garantir a solução única trivial. Então, temos a condição:
Vamos isolar :
Passo 5
Agora, vamos resolver para . Como é igual a , tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Mas atenção! A raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, para que seja real, deve ser positivo, ou seja, . Se , não há valores reais de que satisfaçam a condição, o que significa que para , o sistema sempre tem apenas a solução trivial.
Resposta
O valor de em função de para que o sistema tenha apenas a solução trivial é qualquer número real, exceto , desde que . Se , o sistema sempre possui apenas a solução trivial para qualquer valor real de .