(2,5 pontos) Prove, por indução, que para todo número natural, a seguinte desigualdade é verdadeira:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para todo número natural , a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos usar um método chamado prova por indução, que é uma técnica super útil na matemática para mostrar que algo vale para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a desigualdade funciona para o primeiro número natural, que é o . Vamos substituir:
Então, é verdadeiro. Isso é a base da indução e confirma que a desigualdade funciona para .
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a desigualdade funciona para algum número qualquer, ou seja, vamos supor que:
Esse é o nosso hipótese de indução. Com base nessa suposição, queremos provar que a desigualdade também vale para , ou seja, que:
Vamos trabalhar com . Sabemos que . Usando a hipótese de indução, temos:
Agora, precisamos mostrar que . Isso é verdade para todos os porque:
Portanto:
Assim, mostramos que se a desigualdade vale para , também vale para .
Resposta
Portanto, por indução, para todo número natural , a desigualdade é verdadeira.