(2,5 pontos) Prove, por indução, que para todo número natural, a seguinte desigualdade é verdadeira:
2^n>n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para todo número natural , a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos usar um método chamado prova por indução, que é uma técnica super útil na matemática para mostrar que algo vale para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a desigualdade funciona para o primeiro número natural, que é o 2^1 = 2 e 1 = 1 . Vamos substituir:
Então, é verdadeiro. Isso é a base da indução e confirma que a desigualdade funciona para .

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a desigualdade funciona para algum número 2^k > k qualquer, ou seja, vamos supor que:
2^k + 1 > k + 1
Esse é o nosso hipótese de indução. Com base nessa suposição, queremos provar que a desigualdade também vale para 2^k + 1 = 2 times 2^k > 2 times k , ou seja, que:
2k - (k + 1) = k - 1 >= 0 quando k >= 1
Vamos trabalhar com 2^k + 1 > 2k >= k + 1 . Sabemos que . Usando a hipótese de indução, temos:
Agora, precisamos mostrar que . Isso é verdade para todos os porque:
Portanto:
Assim, mostramos que se a desigualdade vale para , também vale para .

Resposta

Portanto, por indução, para todo número natural , a desigualdade é verdadeira.

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