Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral
pela regra de Simpson, com erro inferior a 0,001 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o menor número de pontos necessário para estimar a integral
usando a Regra de Simpson, garantindo que o erro seja menor que 0,001. Para isso, vamos precisar conhecer a Regra de Simpson e a fórmula de erro associada a ela.
Passo 2
A Regra de Simpson é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parábolas que passam por três pontos. A fórmula geral da Regra de Simpson para
subintervalos (onde
deve ser par) é:
Passo 3
Para determinar o erro da Regra de Simpson, usamos a seguinte fórmula de estimativa de erro:
Onde:
-
é o valor máximo absoluto da quarta derivada da função no intervalo . -
e são os limites de integração. -
é o número de subintervalos (que deve ser par).
Passo 4
Nossa função é
. Vamos encontrar a quarta derivada de
:
O valor absoluto máximo de
no intervalo
é
, já que
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do erro:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Calculando os valores:
Então:
Como
deve ser par, o menor valor par maior que 1,626 é 2.
Resposta
O menor número de pontos necessários é 2.
Exercícios relacionados
Encontre o valor da integral
pelo método de Simpson, considerando 8 intervalos, ou seja,
e ao final determine o erro.
No intervalo
, utilizando a regra do trapézio, encontrar a integral de
considerando
.
Encontrar a equação do primeiro grau que mais se aproxima da sequência de pontos apresentados na tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,98 |
|
|
|
|
Calcular a área aproximada limitada pela função
, com
e
, utilizando a fórmula de Simpson com um intervalo de
.