Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral integral0^pi / 3 cos (x) d x pela regra de Simpson, com erro inferior a 0,001 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o menor número de pontos necessário para estimar a integral usando a Regra de Simpson, garantindo que o erro seja menor que 0,001. Para isso, vamos precisar conhecer a Regra de Simpson e a fórmula de erro associada a ela.

Passo 2

A Regra de Simpson é um método de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parábolas que passam por três pontos. A fórmula geral da Regra de Simpson para Sn = De subintervalos (onde deve ser par) é:
í

Passo 3

Para determinar o erro da Regra de Simpson, usamos a seguinte fórmula de estimativa de erro:
|E| <= M(b - a)^5180 n^4
Onde:
  • é o valor máximo absoluto da quarta derivada da função no intervalo .
  • e são os limites de integração.
  • é o número de subintervalos (que deve ser par).

Passo 4

Nossa função é f'(x) = -sin(x) f''(x) = -cos(x) f'''(x) = sin(x) f''''(x) = cos(x) . Vamos encontrar a quarta derivada de :
O valor absoluto máximo de no intervalo é , já que .

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do erro:
M(b - a)^5180 n^4 < 0,001
Substituindo os valores:
1 cdot (pi3 - 0)^5180 n^4 < 0,001 (pi3)^5180 n^4 < 0,001

Passo 6

Vamos resolver para n^4 > (pi3)^5180 times 0,001 n^4 > (pi3)^50,18 n^4 > (pi^5)3^5 times 0,18 :
pi approx 3,1416 pi^5 approx 306,0197 3^5 = 243 306,0197243 times 0,18 approx 306,019743,74 approx 7,0
Calculando os valores:
n^4 > 7,0 n > raiz[4]7,0 approx 1,626
Então:
Como deve ser par, o menor valor par maior que 1,626 é 2.

Resposta

O menor número de pontos necessários é 2.

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