Determinar a, de modo que o ângulo
do triángulo
, seja
. Dados:
,
e C(a+1,-2,3).
RESP: -1 ou
RESP: -1 ou
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo triângulos no espaço. Queremos encontrar o valor de
tal que o ângulo no vértice
do triângulo
seja de
. Os pontos são dados pelas coordenadas
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores no espaço, usar o produto escalar e a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
, que vão do ponto
para os pontos
e
, respectivamente. A fórmula para encontrar um vetor entre dois pontos
e
é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre os vetores
e
. O produto escalar é dado por:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Já sabemos que
, então podemos rearranjar a fórmula para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do produto escalar:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 7
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 9
Simplificando a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 10
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Passo 11
Então, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
ou
.