Determinar a, de modo que o ângulo AA AA do triángulo A B C, seja 60^circ. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,-2,3).
RESP: -1 ou 135

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo triângulos no espaço. Queremos encontrar o valor de tal que o ângulo no vértice do triângulo seja de . Os pontos são dados pelas coordenadas , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular vetores no espaço, usar o produto escalar e a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores PQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) e AB = (3-1, 1-0, 3-2) = (2, 1, 1) , que vão do ponto AC = ((a+1)-1, -2-0, 3-2) = (a, -2, 1) para os pontos e , respectivamente. A fórmula para encontrar um vetor entre dois pontos e é:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre os vetores AB cdot AC = |AB| cdot |AC| cdot cos(theta) e . O produto escalar é dado por:
Onde é o ângulo entre os vetores. Já sabemos que , então podemos rearranjar a fórmula para encontrar .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto escalar AB cdot AC = (2)(a) + (1)(-2) + (1)(1) = 2a - 2 + 1 = 2a - 1 :
|AB| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores |AC| = raiza^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiza^2 + 4 + 1 = raiza^2 + 5 e :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do produto escalar:
2a - 1 = raiz6 cdot raiza^2 + 5 cdot cos(60^circ)
Sabemos que 2a - 1 = raiz6 cdot raiza^2 + 5 cdot 12 , então:
2a - 1 = raiz6 cdot raiza^2 + 52

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2(2a - 1) = raiz6 cdot raiza^2 + 5
4a - 2 = raiz6 cdot raiza^2 + 5

Passo 7

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(4a - 2)^2 = (raiz6 cdot raiza^2 + 5)^2
16a^2 - 16a + 4 = 6(a^2 + 5)
16a^2 - 16a + 4 = 6a^2 + 30

Passo 8

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
16a^2 - 16a + 4 - 6a^2 - 30 = 0
10a^2 - 16a - 26 = 0

Passo 9

Simplificando a equação dividindo todos os termos por 2:
5a^2 - 8a - 13 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 5 cdot (-13)2 cdot 5 , a = 8 pm raiz64 + 26010 e a = 8 pm raiz32410 . Substituindo:
a = 8 pm 1810

Passo 11

Então, temos duas soluções:
a = 8 + 1810 = 2610 = 135
a = 8 - 1810 = -1010 = -1

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são ou .

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