Determinar m de modo que os planos pi1: 2 m x+2 y-z=0 e pi2: 3 x+2 y+z-10=0 sejam perpendiculares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos: pi1: 2m x + 2 y - z = 0 e pi2: 3 x + 2 y + z -10 =0. Queremos encontrar o valor de m que faz com que esses planos sejam perpendiculares. Para isso, vamos utilizar o conceito de vetores normais dos planos e verificar a perpendicularidade entre eles.

Passo 2

Cada plano no espaço tridimensional pode ser representado pela equação geral Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor (A, B, C) é o vetor normal ao plano. Para o plano pi1, o vetor normal é (2m, 2, -1), e para o plano pi2, o vetor normal é (3, 2, 1).

Passo 3

Dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais também são perpendiculares. Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Portanto, vamos calcular o produto escalar dos vetores normais dos planos pi1 e pi2:
(2m, 2, -1) cdot (3, 2, 1) = 0

Passo 4

Calculando o produto escalar:
2m times 3 + 2 times 2 + (-1) times 1 = 0
6m + 4 - 1 = 0
6m + 3 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de m:
6m = -3
m = -12

Resposta

O valor de m que torna os planos perpendiculares é m = -12.

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