Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial: U=(x, y, z) in R^3 mid z=-x-3 y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um conjunto de geradores para o espaço vetorial . Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com subespaços vetoriais e suas representações. Para resolver, vamos precisar expressar qualquer vetor de como uma combinação de outros vetores.

Passo 2

Observamos que a condição define como o componente está relacionado aos componentes e . Ou seja, dado e , podemos determinar .

Passo 3

Vamos escrever um vetor genérico de (x, y, z) = (x, y, -x -3y) usando essa relação:
(x, y, -x -3y) = x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, -3)
Agora, vamos separar os termos que dependem de e de :

Passo 4

Isso mostra que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, esses dois vetores são geradores do espaço .

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

Exercícios relacionados

Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.9-2 y+z & =1 m x-3 y+m z & =0 m x-2 y & =2
Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.8 3 x+y-z & =1 x-2 y+2 z & =m x+y-z & =1
Resolver os sistemas de equações lineares indicados.
3.1 x+5 y+9 z & =180 9 x+10 y+5 z & =40 10 x+9 y+z & =-50
Determinar m de modo que os planos pi1: 2 m x+2 y-z=0 e pi2: 3 x+2 y+z-10=0 sejam perpendiculares.