Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial: U=(x, y, z) in R^3 mid z=-x-3 y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um conjunto de geradores para o espaço vetorial . Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com subespaços vetoriais e suas representações. Para resolver, vamos precisar expressar qualquer vetor de como uma combinação de outros vetores.

Passo 2

Observamos que a condição define como o componente está relacionado aos componentes e . Ou seja, dado e , podemos determinar .

Passo 3

Vamos escrever um vetor genérico de (x, y, z) = (x, y, -x -3y) usando essa relação:
(x, y, -x -3y) = x cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, -3)
Agora, vamos separar os termos que dependem de e de :

Passo 4

Isso mostra que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, esses dois vetores são geradores do espaço .

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

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