Determinar um número N, de três dígitos, sabendo que: A) N é igual a 15 vezes a soma de seus dígitos; B) Se a ordem dos dígitos for invertida o novo número é igual a N mais 396; C) 0 dígito das unidades é igual à soma dos outros dois, aumentado de uma unidade;
R: N=135.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar um número de três dígitos, , com algumas condições específicas. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra básica, especialmente sobre a representação de números com seus dígitos e equações.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número de três dígitos como , onde:
  • é o dígito das centenas,
  • é o dígito das dezenas,
  • é o dígito das unidades.

Passo 3

Segundo a condição A: 100a + 10b + c = 15(a + b + c) é igual a 15 vezes a soma de seus dígitos. Então, temos a equação:
100a + 10b + c = 15a + 15b + 15c 100a - 15a + 10b - 15b + c - 15c = 0 85a - 5b - 14c = 0 (Equação 1)
Vamos simplificar essa equação:
çã

Passo 4

Segundo a condição B: Se a ordem dos dígitos for invertida, o novo número é igual a 100c + 10b + a = (100a + 10b + c) + 396 . O número invertido será 100c + a = 100a + c + 396 100c - c + a - 100a = 396 99c - 99a = 396 c - a = 4 (Dividindo ambos os lados por 99) . Então, temos:
Simplificando:
Portanto, \quad (Equação 2)

Passo 5

Segundo a condição C: O dígito das unidades c = a + b + 1 (Equação 3) é igual à soma dos outros dois dígitos, aumentada de uma unidade. Então:
çã

Passo 6

Agora, temos três equações:
  1. a + 4 = a + b + 1 4 = b + 1 b = 3
Vamos usar a Equação 2 na Equação 3:

Passo 7

Com 85a - 5(3) - 14(a + 4) = 0 85a - 15 - 14a - 56 = 0 71a - 71 = 0 71a = 71 a = 1 e usando a Equação 2 ( ), substituímos na Equação 1:

Passo 8

Agora que sabemos que c = 1 + 4 = 5 , encontramos usando a Equação 2:

Resposta

O número é .

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