O sistema linear lx+y+z=k x+y-z=k k x+y+z=1 tem mais de uma solução para que valor de k ?
R: se k=1 é compatível e indeterminado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que é assim:
x + y + z = k x + y - z = k k x + y + z = 1
O objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha mais de uma solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações:
x + y + z = k (1) x + y - z = k (2)
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar (x + y + z) - (x + y - z) = k - k :
2z = 0
z = 0
Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora que sabemos que x + y + 0 = k , podemos substituir esse valor na equação (1):
x + y = k (4)
Temos agora uma relação entre e .

Passo 4

Vamos levar isso para a terceira equação do sistema:
k x + y + z = 1
Sabemos que k x + y + 0 = 1 , então substituímos:
k x + y = 1 (5)

Passo 5

Agora, temos duas equações com x + y = k (4) k x + y = 1 (5) e (k x + y) - (x + y) = 1 - k :
(k - 1) x = 1 - k
Vamos subtrair a equação (4) da equação (5):

Passo 6

Resolvendo para x = 1 - kk - 1 :
Perceba que , desde que .
Então, , desde que .

Passo 7

Substituindo -1 + y = k na equação (4):
y = k + 1

Passo 8

Agora, temos:
x = -1, y = k + 1, z = 0
Isso dá uma solução única para o sistema, desde que .

Passo 9

Para que o sistema tenha mais de uma solução, ele precisa ser indeterminado, ou seja, ter infinitas soluções. Isso ocorre quando as equações são dependentes, o que acontece quando o denominador na equação para k - 1 = 0 implies k = 1 se torna zero:

Resposta

O valor de que faz o sistema ter mais de uma solução é .

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