O sistema linear tem mais de uma solução para que valor de k ?
R: se k=1 é compatível e indeterminado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que é assim:
x + y + z = k x + y - z = k k x + y + z = 1
O objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha mais de uma solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações:
x + y + z = k (1) x + y - z = k (2)
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar (x + y + z) - (x + y - z) = k - k :
2z = 0
z = 0
Então, descobrimos que .
Passo 3
Agora que sabemos que x + y + 0 = k , podemos substituir esse valor na equação (1):
x + y = k (4)
Temos agora uma relação entre e .
Passo 4
Vamos levar isso para a terceira equação do sistema:
k x + y + z = 1
Sabemos que k x + y + 0 = 1 , então substituímos:
k x + y = 1 (5)
Passo 5
Agora, temos duas equações com x + y = k (4) k x + y = 1 (5) e (k x + y) - (x + y) = 1 - k :
(k - 1) x = 1 - k
Vamos subtrair a equação (4) da equação (5):
Passo 6
Resolvendo para x = 1 - kk - 1 :
Perceba que , desde que .
Então, , desde que .
Passo 7
Substituindo -1 + y = k na equação (4):
y = k + 1
Passo 8
Agora, temos:
x = -1, y = k + 1, z = 0
Isso dá uma solução única para o sistema, desde que .
Passo 9
Para que o sistema tenha mais de uma solução, ele precisa ser indeterminado, ou seja, ter infinitas soluções. Isso ocorre quando as equações são dependentes, o que acontece quando o denominador na equação para k - 1 = 0 implies k = 1 se torna zero:
Resposta
O valor de que faz o sistema ter mais de uma solução é .