Determinar o operador
do
cuja matriz em relação à base
é:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear
no espaço
e uma base
. A matriz de
nessa base é:
Nosso objetivo é determinar o operador
na base padrão de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e representação de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz em uma base específica. A matriz fornecida é a representação de
na base
. Para encontrar a representação na base padrão, precisamos fazer uma mudança de base.
Passo 3
A mudança de base envolve duas matrizes importantes: a matriz de mudança de base de
para a base padrão, que chamaremos de
, e sua inversa
.
A matriz
é formada colocando os vetores da base
como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa de
, ou seja,
. Para uma matriz
, a inversa é dada por:
Onde
,
,
, e
. Calculando o determinante:
Então,
Passo 5
Agora, a matriz de
na base padrão, que chamaremos de
, é dada por:
Onde
é a matriz de
na base
:
Passo 6
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos
por
:
Passo 7
Agora, multiplicamos
pelo resultado anterior:
Resposta
A matriz do operador
na base padrão de
é: