Determinar o operador F do R^2 cuja matriz em relação à base B=(1,1),(1,2) é:
(ll 1 & 0 1 & 2 )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear 1 & 0 1 & 2 no espaço e uma base . A matriz de nessa base é:
Nosso objetivo é determinar o operador na base padrão de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e representação de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz em uma base específica. A matriz fornecida é a representação de na base . Para encontrar a representação na base padrão, precisamos fazer uma mudança de base.

Passo 3

A mudança de base envolve duas matrizes importantes: a matriz de mudança de base de P = 1 & 1 1 & 2 para a base padrão, que chamaremos de , e sua inversa .
A matriz é formada colocando os vetores da base como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , ou seja, det(P) = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1 . Para uma matriz P^-1 = 2 & -1 -1 & 1 , a inversa é dada por:
Onde , , , e . Calculando o determinante:
Então,

Passo 5

Agora, a matriz de [F] = P [F]B P^-1 na base padrão, que chamaremos de [F]B = 1 & 0 1 & 2 , é dada por:
Onde é a matriz de na base :

Passo 6

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos [F]B P^-1 = 1 & 0 1 & 2 2 & -1 -1 & 1 = (1)(2) + (0)(-1) & (1)(-1) + (0)(1) (1)(2) + (2)(-1) & (1)(-1) + (2)(1) = 2 & -1 0 & 1 por :

Passo 7

Agora, multiplicamos P [F]B P^-1 = 1 & 1 1 & 2 2 & -1 0 & 1 = (1)(2) + (1)(0) & (1)(-1) + (1)(1) (1)(2) + (2)(0) & (1)(-1) + (2)(1) = 2 & 0 2 & 1 pelo resultado anterior:

Resposta

A matriz do operador [F] = 2 & 0 2 & 1 na base padrão de é:

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