Seja
uma função e
. É verdade que
Prove ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
e um subconjunto
de
. A pergunta é: será que aplicar a função
ao conjunto que é a pré-imagem de
retorna exatamente
? Em outras palavras, queremos saber se
é sempre verdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, como imagem e pré-imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa a imagem e a pré-imagem de um conjunto em relação a uma função.
- Imagem de
pela função (denotada por ): é o conjunto de todos os resultados que você obtém aplicando a cada elemento de . Matematicamente,
- Pré-imagem de um conjunto
pela função (denotada por ): é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de por . Ou seja,
No nosso caso,
, então,
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Esse conjunto inclui todos os elementos de
que, ao serem aplicados na função
, resultam em algum elemento de
. Claro que todo elemento de
está incluído em
, porque
está em
para todo
.
Mas, além de
, pode haver outros elementos em
que também são mapeados para
. Isso depende se a função
é injetora (cada elemento de
tem no máximo um antecedente em
) ou não.
Passo 4
Vamos agora aplicar a função
ao conjunto
:
Cada
em
é tal que
está em
. Portanto, ao aplicar
novamente, estamos basicamente pegando todos os
que já estão em
. Isso significa que:
Agora, vamos ver se todo elemento de
está em
. Seja
. Então, existe algum
tal que
. Como
(porque
), aplicando
a esse
novamente, temos
. Assim,
Resposta
Sim, é verdade que
.