Seja f: A B uma função e X subseteq A. É verdade que
f(f^-1(f(X)))=f(X) ?
Prove ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função f(f^-1(f(X))) = f(X) e um subconjunto de . A pergunta é: será que aplicar a função ao conjunto que é a pré-imagem de retorna exatamente ? Em outras palavras, queremos saber se
é sempre verdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções, como imagem e pré-imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa a imagem e a pré-imagem de um conjunto em relação a uma função.
  • Imagem de f(X) = f(x) mid x in X pela função f^-1(Y) = a in A mid f(a) in Y (denotada por f^-1(f(X)) = a in A mid f(a) in f(X) ): é o conjunto de todos os resultados que você obtém aplicando a cada elemento de . Matematicamente,
  • Pré-imagem de um conjunto pela função (denotada por ): é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de por . Ou seja,
No nosso caso, , então,

Passo 3

Agora, vamos analisar . Esse conjunto inclui todos os elementos de que, ao serem aplicados na função , resultam em algum elemento de . Claro que todo elemento de está incluído em , porque está em para todo .
Mas, além de , pode haver outros elementos em que também são mapeados para . Isso depende se a função é injetora (cada elemento de tem no máximo um antecedente em ) ou não.

Passo 4

Vamos agora aplicar a função f(f^-1(f(X))) = f(a) mid a in f^-1(f(X)) ao conjunto f(f^-1(f(X))) subseteq f(X) :
f(X) subseteq f(f^-1(f(X)))
Cada em é tal que está em . Portanto, ao aplicar novamente, estamos basicamente pegando todos os que já estão em . Isso significa que:
Agora, vamos ver se todo elemento de está em . Seja . Então, existe algum tal que . Como (porque ), aplicando a esse novamente, temos . Assim,

Resposta

Sim, é verdade que .

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