Nos Exercícios 5-8, resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
6. 2 x1+2 x2+2 x3=0
-x1-2 x2+3 x3=1
-2 x1+5 x2+2 x3=1
3 x1-7 x2+4 x3=10
8 x1+x2+4 x3=-1

Passo 1

Estamos diante de um sistema de 5 equações com 3 incógnitas ( x1, x2, x3). Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss-Jordan, que nos ajuda a simplificar as equações para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos independentes:
2 & 2 & 2 & | & 0 -1 & -2 & 3 & | & 1 -2 & 5 & 2 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

Vamos começar transformando o primeiro elemento da primeira linha em 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
1 & 1 & 1 & | & 0 -1 & -2 & 3 & | & 1 -2 & 5 & 2 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 4

Agora, queremos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, faremos algumas operações nas linhas:
  • Linha 2: Adicionamos a Linha 1 para eliminar o -1.
  • Linha 3: Adicionamos 2 vezes a Linha 1 para eliminar o -2.
  • Linha 4: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 para eliminar o 3.
  • Linha 5: Subtraímos 8 vezes a Linha 1 para eliminar o 8.
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & 4 & | & 1 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -10 & 1 & | & 10 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, multiplicamos a Linha 2 por -1:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & -4 & | & -1 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -10 & 1 & | & 10 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 6

Com o segundo elemento da segunda linha igual a 1, vamos eliminar os demais elementos da segunda coluna:
  • Linha 1: Subtraímos a Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos 7 vezes a Linha 2.
  • Linha 4: Adicionamos 10 vezes a Linha 2.
  • Linha 5: Adicionamos 7 vezes a Linha 2.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 5 & | & 1 0 & 1 & -4 & | & -1 0 & 0 & 32 & | & 8 0 & 0 & -39 & | & 0 0 & 0 & -32 & | & -8

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, dividimos a Linha 3 por 32:
1 & 0 & 5 & | & 1 0 & 1 & -4 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & 14 0 & 0 & -39 & | & 0 0 & 0 & -32 & | & -8

Passo 8

Vamos eliminar os demais elementos da terceira coluna:
  • Linha 1: Subtraímos 5 vezes a Linha 3.
  • Linha 2: Adicionamos 4 vezes a Linha 3.
  • Linha 4: Adicionamos 39 vezes a Linha 3.
  • Linha 5: Adicionamos 32 vezes a Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 0 & | & -14 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 14 0 & 0 & 0 & | & 394 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Observamos que na quarta linha temos a equação , o que é impossível. Isso indica que o sistema não possui solução, pois as equações são incompatíveis entre si.

Resposta

O sistema não possui solução, pois as equações são incompatíveis entre si.

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