Sejam S, T in L(R^2) definidos por
S(x, y)=(x-2 y, y) e T(x, y)=(2 x,-y)
Determine as matrizes de operadores: [S+T],[T-S],[S circ T],[T circ S] e [S circ S].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas transformações lineares e definidas no espaço . Nosso objetivo é encontrar as matrizes correspondentes às operações , , , e . Para isso, precisamos entender como representamos transformações lineares como matrizes e como realizar operações com essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as matrizes das transformações x y e S x y = 1 & -2 0 & 1 x y . Uma transformação linear [S] = 1 & -2 0 & 1 pode ser representada por uma matriz tal que .
Para , podemos escrever:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, para T x y = 2 & 0 0 & -1 x y , fazemos o mesmo:
[T] = 2 & 0 0 & -1
Assim, a matriz de é:

Passo 4

Agora que temos as matrizes de [S + T] = [S] + [T] = 1 & -2 0 & 1 + 2 & 0 0 & -1 = 1+2 & -2+0 0+0 & 1+(-1) = 3 & -2 0 & 0 e , vamos calcular . A soma de duas matrizes é feita elemento a elemento. Então:

Passo 5

Vamos calcular agora [T - S] = [T] - [S] = 2 & 0 0 & -1 - 1 & -2 0 & 1 = 2-1 & 0-(-2) 0-0 & -1-1 = 1 & 2 0 & -2 . Subtrair duas matrizes também é feito elemento a elemento:

Passo 6

Agora, vamos encontrar [S circ T] = [S][T] = 1 & -2 0 & 1 2 & 0 0 & -1 = (1 times 2) + (-2 times 0) & (1 times 0) + (-2 times -1) (0 times 2) + (1 times 0) & (0 times 0) + (1 times -1) = 2 & 2 0 & -1 , que representa a composição das transformações depois de . Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem:

Passo 7

Vamos calcular [T circ S] = [T][S] = 2 & 0 0 & -1 1 & -2 0 & 1 = (2 times 1) + (0 times 0) & (2 times -2) + (0 times 1) (0 times 1) + (-1 times 0) & (0 times -2) + (-1 times 1) = 2 & -4 0 & -1 , a composição das transformações depois de :

Passo 8

Por último, vamos encontrar [S circ S] = [S][S] = 1 & -2 0 & 1 1 & -2 0 & 1 = (1 times 1) + (-2 times 0) & (1 times -2) + (-2 times 1) (0 times 1) + (1 times 0) & (0 times -2) + (1 times 1) = 1 & -4 0 & 1 , que é a composição de com ele mesmo:

Resposta

As matrizes dos operadores são:
[S + T] = 3 & -2 0 & 0 , [T - S] = 1 & 2 0 & -2 , [S circ T] = 2 & 2 0 & -1 ,
[T circ S] = 2 & -4 0 & -1 , e [S circ S] = 1 & -4 0 & 1

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