Sejam
definidos por
Determine as matrizes de operadores:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas transformações lineares
e
definidas no espaço
. Nosso objetivo é encontrar as matrizes correspondentes às operações
,
,
,
e
. Para isso, precisamos entender como representamos transformações lineares como matrizes e como realizar operações com essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as matrizes das transformações
e
. Uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
tal que
.
Para
, podemos escrever:
Então, a matriz de
é:
Passo 3
Agora, para
, fazemos o mesmo:
Assim, a matriz de
é:
Passo 4
Agora que temos as matrizes de
e
, vamos calcular
. A soma de duas matrizes é feita elemento a elemento. Então:
Passo 5
Vamos calcular agora
. Subtrair duas matrizes também é feito elemento a elemento:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, que representa a composição das transformações
depois de
. Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem:
Passo 7
Vamos calcular
, a composição das transformações
depois de
:
Passo 8
Por último, vamos encontrar
, que é a composição de
com ele mesmo:
Resposta
As matrizes dos operadores são: